Disuguaglianza da spiaggia

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Carlo42
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Disuguaglianza da spiaggia

Messaggio da Carlo42 » 24 lug 2019, 23:58

Siano [math] numeri reali positivi. Dimostrare che [math]
Edit: modificato un errore nel testo, ora dovrebbe essere giusto
Ultima modifica di Carlo42 il 25 lug 2019, 14:36, modificato 2 volte in totale.

Luca Milanese
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Re: Disuguaglianza da spiaggia

Messaggio da Luca Milanese » 25 lug 2019, 09:32

Forse hai sbagliato a scrivere il terzo addendo del primo membro...

Carlo42
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Re: Disuguaglianza da spiaggia

Messaggio da Carlo42 » 25 lug 2019, 11:09

Ops... hai ragione, modifico subito :roll:

TeoricodeiNumeri
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Re: Disuguaglianza da spiaggia

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 25 lug 2019, 13:20

[math] Consideriamo il caso in cui $a=b=c$. La disuguaglianza diventa perciò
$6a^9 \geq 3a^9 +3a^8$ che non è vera per $a<1$. Di conseguenza supporrò che l'autore del messaggio intendesse :
dimostrare che per $a,b$ e $c$ positivi si ha che
$a^3 b^6 +b^3 c^6 +c^3 a^6 +3a^3 b^3 c^3 \geq abc(a^3 b^3 + b^3 c^3 +c^3 a^3) + a^2 b^2 c^2 (a^3 +b^3+ c^3)$.
Di conseguenza la dimostrazione che offrirò sarà di questa disuguaglianza.
Testo nascosto:
Siccome la disuguaglianza è omogenea è possibile aggiungere senza perdita di generalità un vincolo. Ad esempio assumerò che
$a^3 b^3 c^3=1$. Difatti, supponendo che $a^3 b^3 c^3=k$ si ha che $(a/k^{\frac{1}{9}})^3 (b/k^{\frac{1}{9}})^3 (c/k^{\frac{1}{9}})^3=1$ con $(a/k^{\frac{1}{9}};b/k^{\frac{1}{9}};c/k^{\frac{1}{9}})$ soluzione della disequazione.
Con questo vincolo la disuguaglianza può essere scritta come segue:
\begin{equation}
(b/c)^3 +(c/a)^3 + (a/b)^3 +3\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}\geq \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}
\end{equation}
che ponendo $\frac{b}{c}=x,\frac{c}{a}=y$ e $\frac{a}{b}=z$, portando tutto al primo membro e moltiplicando ambo i membri per $2$ può essere riscritta come segue:
\begin{equation}
\sum_{sym} x^3 -2x^2 y+xyz \geq 0
\end{equation}
che è un caso speciale delle disuguaglianze di Schur.

Carlo42
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Re: Disuguaglianza da spiaggia

Messaggio da Carlo42 » 25 lug 2019, 14:39

Hai ragione anche tu, modificato di nuovo :oops: comunque la soluzione è corretta :wink:

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