Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Leonhard Euler
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Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Messaggio da Leonhard Euler » 04 lug 2019, 15:39

Problema rivolto specialmente, ma non solo, ai futuri IMOisti.
Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb Z\to \mathbb Z $ tali che comunque si scelga una funzione suriettiva $ g:\mathbb Z\to \mathbb Z $ allora $ f+g $ sia comunque suriettiva.
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scambret
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Re: Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Messaggio da scambret » 04 lug 2019, 16:36

Testo nascosto:
Mi sto perdendo qualcosa a scegliere $g=-f$? Per caso, l'immagine di $f$ è $N$?

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Leonhard Euler
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Re: Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Messaggio da Leonhard Euler » 04 lug 2019, 16:49

Testo nascosto:
Escludi il caso $ f $ suriettiva
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scambret
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Re: Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Messaggio da scambret » 04 lug 2019, 17:38

Hai ragione tu, devo decisamente cambiare paio di occhiali :D

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Leonhard Euler
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Re: Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Messaggio da Leonhard Euler » 10 lug 2019, 18:15

Ammetto che questo problema non sia davvero banale, ad ogni modo invito i più esperti a proporre una propria soluzione, dal momento che si tratta di quesito che ha una sua bellezza.
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TeoricodeiNumeri
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Re: Suriettività in [tex]\mathbb Z[/tex]

Messaggio da TeoricodeiNumeri » oggi, 11:06

[math]
Testo nascosto:
Denotiamo con $F=\lbrace f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} \vert \forall g:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}: g \hspace{1mm} suriettiva \Rightarrow f+g \hspace{1mm}suriettiva \rbrace$. Sia $f\in F$ e dimostriamo che $-f\in F$. Difatti $\forall g \hspace{1mm} suriettive: -(-g)+f
\hspace{1mm} suriettiva$ da cui $-(-g-f) \hspace{1mm} suriettiva$. D'altro canto la funzione che manda una funzione suriettiva nella sua opposta è bigettiva, da cui $-g-f \hspace{1mm} suriettiva$ con $-g \hspace{1mm} suriettiva$ qualsiasi. Supponiamo ora che $f\in \mathbb{Z}$ sia tale per cui per qualche $\alpha$ e $\beta$ interi si abbia che $f(\alpha)\neq f(\beta)$. Consideriamo la funzione $f'$ per cui $\forall x\notin \lbrace \alpha, \beta \rbrace: f'(x)=f(x)$ e i valori in $\alpha$ e $\beta$ vengono scambiati. Banalmente se esistesse una funzione suriettiva $h$ per cui $f'+h$ non è suriettiva, con lo stesso meccanismo di inversione si potrebbe costruire una funzione $h'$ suriettiva per cui $f+h'$ non è suriettiva. Perciò $f'\in F$. D'altro canto è facile verificare che $F$ è chiuso rispetto all'operazione di somma (da cui consegue, assieme ad altre considerazioni, che $(F;+)$ è un gruppo) e quindi $f-f' \in F$. Ma $f-f'$ è una funzione che assume $0$ in quasi tutti i valori fuorché in $\alpha$ e $\beta$, in cui assume due valori distinti e opposti. A questo punto è facile osservare che almeno una fra $f-f' +i$ e $f-f'-i$ non è suriettiva, dove $i$ è l'identità (o bigezione canonica) di $\mathbb{Z}$. Di conseguenza tutti gli elementi di $F$ devono essere funzioni costanti. D'altro canto tutte le funzioni costanti sono banalmente elementi di $F$, da cui $F=\lbrace f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} \vert \exists ! y\in \mathbb{Z}: \forall x\in \mathbb{Z}: f(x)=y \rbrace$.

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