Geometrico Non Banale (O forse sì?)

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Mattysal
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Geometrico Non Banale (O forse sì?)

Messaggio da Mattysal » 28 giu 2019, 19:04

Sia [math] un triangolo e sia [math] il punto medio di [math].
Siano [math] punti su [math] tali che [math] e siano [math] le intersezioni fra la retta [math] e le rette [math] rispettivamente.
Sapendo che l'area del quadrilatero [math] vale [math], quanto vale l'area di [math]?

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Fenu
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Re: Geometrico Non Banale (O forse sì?)

Messaggio da Fenu » 29 giu 2019, 17:57

Feat. $C_2H_5OH$ e Doxeno
Non so quale soluzione scrivere dato che esce in mille modi, ma ecco, almeno perdo la dignità..
$A(1, 0, 0)$
$B(0, 1, 0)$
$C(0, 0, 1)$
Allora $M(1/2, 0, 1/2), P(0, 2/3, 1/3), Q(0, 1/3, 2/3)$..
Segue $D(1/4, 1/2, 1/4)$ ed $E(2/5, 1/5, 2/5)$.. ricavati dalle rette $BM: x=z, AP: 2z=y, AQ: 2y=z$.
Area $PDEQ$=Area $BQE$- Area $BPD$ =Area $ABC*(11/60)$ ottenuto col determinante delle matrici che hanno come righe rispettivamente le coordinate di $B, Q, E$ e $B, P, D$.
Area $$ABC=120$$

Parmenide
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Re: Geometrico Non Banale (O forse sì?)

Messaggio da Parmenide » 30 giu 2019, 02:01

Feat. Almagià
O altrimenti:
Date due terne di punti non allineati $(X,Y,Z)$ e $(X_1,Y_1,Z_1)$, esiste un'affinità che manda $X$ in $X_1$, $Y$ in $Y_1$ e $Z$ in $Z_1$, per cui esiste un'affinità $\psi$ che manda $A$ in $A'(0,4)$, $B$ in $B'(-1,0)$ e $C$ in $C'(2, 0)$. Dato che le affinità conservano il rapporto fra segmenti paralleli, le immagini $P'$ e $Q'$ rispettivamente di $P$ e $Q$ nell'applicazione di $\psi$ tripartiranno il segmento $B'C'$ e avranno dunque coordinate $P'(0,0)$ e $Q'(1,0)$. Analogamente $M'$, immagine di $M$ nell'applicazione di $\psi$, sarà il punto medio di $A'C'$ e avrà pertanto coordinate $(1,2)$.
La retta $A'P'$ ha equazione $x=0$, la retta $A'Q'$ ha equazione $y=-4x+4$, la retta $B'M'$ ha equazione $y=x+1$.
Troviamo le immagini $D'$ e $E'$ di $D$ ed $E$ rispettivamente nell'applicazione di $\psi$ come intersezione fra $B'M'$ e le rette $A'P'$ e $A'Q'$, rispettivamente:
$$
\begin{cases}
x=0\\
y=x+1
\end{cases}
\implies y=1.
$$
Pertanto $D'$ ha coordinate $(0,1)$.
$$
\begin{cases}
y=-4x+4\\
y=x+1
\end{cases}
\implies x=\frac{3}{5}, y=\frac{8}{5}.
$$
Pertanto $E'$ ha coordinate $\left(\frac{3}{5}, \frac{8}{5}\right)$.
Calcoliamo l'area di $D'E'Q'P'$; $$S_{D'E'Q'P'}=S_{D'E'P'}+S_{E'Q'P'}=\frac{1\cdot \frac{3}{5}}{2}+\frac{1\cdot\frac{8}{5}}{2}=\frac{11}{10}$$
Calcoliamo l'area di $A'B'C'$: $$S_{A'B'C'}=\frac{3\cdot4}{2}=6.$$
Dato che le affinità conservano i rapporti fra le aree, l'area di $ABC$ sarà pari dunque a $$\frac{22\cdot 6}{\frac{11}{10}}=\fbox{120}\,.$$

Mattysal
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Re: Geometrico Non Banale (O forse sì?)

Messaggio da Mattysal » 30 giu 2019, 21:40

Sì, è giusto😄

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