Poli e allineamenti

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Leonhard Euler
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Poli e allineamenti

Messaggio da Leonhard Euler » 13 giu 2019, 12:08

Sia $ AB $ diametro di una circonferenza $ ω $, $ H $ punto esterno alla circonferenza sulla retta $ AB $ e $ D $ un punto sulla perpendicolare ad essa passante per $ H $. Le tangenti da $ D $ a $ ω $ incontrano la circonferenza in $ G,F $, la retta $ AD $ interseca $ ω $ in $ C $, distinto da $ A $, le tangenti in $ B $ e $ C $ si intersecano in $ E $. Dimostrare che $ D $, $ E $ e l'inverso di $ H $ rispetto ad $ ω $ giacciono su una stessa retta.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

Parmenide
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Re: Poli e allineamenti

Messaggio da Parmenide » 14 giu 2019, 11:13

Bel problema! Posto una soluzione in coordinate:
Testo nascosto:
$O =(0,0)$ il centro di $\omega$, $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $H=(h,0)$, $D=(h,d)$ e $\omega: x^2+y^2=1$

Dalle proprietà dell'inversione ricaviamo $\displaystyle{H'=\left(\frac{1}{h},0\right)}$

Si tratta ora di ricavare $E$: esso è l'intersezione tra la tangente a $\omega$ passante per $B$, cioè $x=1$, e la retta $OE'$, con $E'$ l'inverso di $E$ rispetto a $\omega$. $E'$ è quindi il punto medio del segmento $BC$.

Essendo $AB$ un diametro, $\angle ACB$ è retto, cioè $AD\perp BC$. Ma siccome $E'$ è punto medio della corda $BC$, anche $OE'\perp BC$. Pertanto $AD\parallel OE'$

Ora $AD:\displaystyle{y=\frac{d}{h+1}(x+1)}$ e quindi, dato il parallelismo, $OE'=\displaystyle{y=\frac{d}{h+1}x}$

A questo punto, intersecando con $x=1$ otteniamo $\displaystyle{E=\left(1,\frac{d}{h+1}\right)}$

$H'D:\displaystyle{y=\frac{hd}{h^2-1}\left(x-\frac{1}{h}\right)}$ e $\displaystyle{\frac{d}{h+1}=\frac{hd}{h^2-1}\left(1-\frac{1}{h}\right)}$ dunque $E$ sta su $H'D$

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Leonhard Euler
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Re: Poli e allineamenti

Messaggio da Leonhard Euler » 14 giu 2019, 23:18

Posto una dimostrazione sintetica che fa uso di alcuni lemmi noti molto utili su poli e polari.
Testo nascosto:
Claim: Detto $ H’ $ l’inverso di $ H $, esso giace su $ FG $.
Lemma di La Hire: Data una circonferenza e due punti $ P, Q $, dette $ p $ e $ q $ rispettivamente le due polari, $ P $ giace su $ q $ se e solo se $ Q $ giace su $ p $.
La polare di $ H’ $ è la retta $ HD $, dunque $ H’ $ per il lemma di La Hire sta sulla polare di $ D $, ovvero la retta $ FG $, il che prova il claim.
$ \angle BHD=\angle BCD=\pi/2\implies $$ BHDC $ ciclico.
Sia $ O $ il centro di ω, $ \angle OGD=\angle OHD=\pi/2 \implies$ $ OHDG $ ciclico, da cui per simmetria segue $ GFHD $ ciclico.
Per la concorrenza degli assi radicali delle circonferenze passanti per $ GFHD $, $ BHDC $ e ω si ha che le rette $ BC,FG,HD $ concorrono.
Lemma delle tre polari Tre punti sono allineati se e solo se le loro polari rispetto ad una circonferenza concorrono.
Si ha che $ BC $ è la polare di $ E $, $ HD $ la polare di $ H’ $ ed infine $ FG $ la polare di $ D $, applicando il lemma si ha la concorrenza desiderata. $ $
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