Circonferenze coassiali

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Parmenide
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Circonferenze coassiali

Messaggio da Parmenide » 16 mag 2019, 23:41

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo scaleno. $D,E$ sono punti sui lati $AB,AC$ rispettivamente e tali che $BD=CE$.
Siano $O_1,O_2$ i circocentri dei triangoli $ABE$ e $ACD$ rispettivamente.
Dimostrare che le circonferenze circoscritte ai triangoli $ABC$, $ADE$, $AO_1O_2$ hanno un punto in comune oltre ad $A$

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Leonhard Euler
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Re: Circonferenze coassiali

Messaggio da Leonhard Euler » 17 mag 2019, 16:47

Davvero un problema interessante, qui sotto una dimostrazione sintetica.
Testo nascosto:
Siano $ F=(ABE) {\displaystyle \cap } (ACD) $, $ G $ punto medio dell'arco $ BC $ della circoscritta ad $ ABC $ contenente il vertice $ A $, $ O $ circocentro di $ ABC $. Si vuole mostrare che il punto di concorrenza delle tre circonferenze sia $ G $, che essendo punto medio dell'arco $ BC $ giace sulla bisettrice esterna relativa al vertice in $ A $.
Inizialmente si vuole mostrare che la retta $ AF $ è bisettrice interna del vertice $ A $ in $ ABC $. Per ciclicità di $ ABFE $ si ha $ \angle ABF=\angle CEF $, per ciclicità di $ ACFD $ analogamente si ha$ \angle ACF=\angle BDF $, uguaglianze di angoli che unite all'ipotesi $ BD=CE $ comportano la congruenza fra i triangoli $ BDF $ e $ CEF $, da cui $ FD=FC $, $ FE=FB $. Pertanto $ \angle FAC=\angle FAD=\angle FAB $, ovvero $ AF $ bisettrice interna di $ ABC $.
Per il perpendicolarismo fra la bisettrice interna ed esterna di un triangolo $ AF⟂AG $. Dato che $ AF $ è asse radicale relativo alle circonferenze $ (ABE) $,$ (ACD) $, $ AF⟂O_1O_2 $, il che implica $ AG//O_1O_2 $. Dalla definizione di $ O_1 $,$ O $ segue $ OO_1⟂AB $, per conto esplicito degli angoli $ \angle GAO=\angle GAB+\angle BAO=180-\angle ACB-\angle BAC/2 $, queste due comportano $ \angle OO_1O_2=\angle BAC/2 $, analogamente $ \angle OO_2O_1=\angle BAC/2 $, ovvero $ OO_2O_1 $ isoscele. Questo risultato, unito al fatto che anche $ OAG $ è isoscele di base $ AG $, comporta $ AGO_1O_2 $ trapezio isoscele, quindi $ G $ sta sulla circoscritta a $ AO_1O_2 $.
Non resta che mostrare che $ G $ sta su $ (ADE) $. $ G $ sta sull'asse di $ BC $, quindi $ GB=GC $, per ipotesi $ BD=CE $, per ciclità di $ AGBC $ inoltre si ha $ \angle GBA=\angle GCA $, da cui la congruenza fra i triangoli $ BDG $, $ CEG $, che comporta $ \angle GDA=\angle GEA $, ovvero $ AGDE $ ciclico.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

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