Calcolo Probabilità

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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karotto
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Calcolo Probabilità

Messaggio da karotto » 07 mag 2019, 18:29

Forse sarà un calcolo banale, ma vorremmo essere sicuri.
Consideriamo una elezione con 4 candidati sindaci e un numero di voti validi pari a 2000

La probabilità che il primo vinca rispetto al secondo per 1 voto?

Grazie

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Ted Kaczynski
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da Ted Kaczynski » 21 mag 2019, 23:51

Allego qui di seguito il mio risultato:
Testo nascosto:
$ \frac{83500}{1337337001} $
Se ti chiedessi da dove arriva questa brutta frazione (irridubile) chiedi pure informazioni, nel frattempo metto qualcosa di già un po' più esplicito..
Testo nascosto:
$ \frac{167\cdot 500}{\binom{2003}{2000}} $
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karotto
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da karotto » 21 mag 2019, 23:55

Grazie, attendo (se ti va) i passaggi che portano a questa tua conclusione :D

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Ted Kaczynski
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da Ted Kaczynski » 22 mag 2019, 00:14

Mi sono appena reso conto di aver commesso un errore.. ho considerato i sindaci uguali tra loro (e dunque non permutato le sequenze di voti ricevute). Adesso provo a rifare i conti (se alla bellezza di mezzanotte inoltrata ne avrò le forze :cry: ) e ti invio il risultato corretto.
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da fph » 22 mag 2019, 08:55

Giusto per capirci, stai considerando equiprobabili e indipendenti i singoli voti, vero? Nel senso, ognuno entra in cabina e tira un dado a quattro facce per decidere chi vota?
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da Ted Kaczynski » 22 mag 2019, 16:11

Provo a pubblicare la mia soluzione, la quale, con la variante da me prima non considerata, ha perso rigore ed eleganza, ringrazio quindi in anticipo chi avrà il coraggio di sfidarla e magari la pazienza di correggerla, se necessario.
Ho considerato inizialmente le quaterne (per ora ordinate e che ovviamente rappresentano i voti ricevuti da ogni sindaco) del tipo $ (n+1;n;a;b) $ con, senza perdita di generalità, $ b<a\leq n $ e $ a+b+n+n+1=2000 $. Per contare quante sono ho guardato intanto i possibili valori di $ n$ . Il minimo si ha per $ n=500 $, con cui si trova la quaterna $ (501;500;500;499) $, si verifica infatti facilmente che se fosse $ n=499 $ non si troverebbero $ a,b $ che soddisfino le ipotesi. Il massimo è invece $ n=999 $, con il quale si trova la quaterna $ (1000;999;1;0) $, infatti ponendo $ n=1000 $ non verrebbe rispettata la condizione che vuole la somma uguale a $ 2000 $. Ora ho bisogno di un metodo veloce per trovare il numero di quaterne dato un certo $ n $ (per quanto abbiamo detto prima si ha $ 500\leq n\leq 999 $). Il modo più furbo che mi è venuto in mente è quello di considerare il minimo $ n $ per cui la quaterna non contiene due elementi uguali. Dunque si ha $ n+n+n+1\geq 2000 $, da cui si trova, in $ \mathbb{Z} $, $ n\geq 667 $. Per $ 500\leq n\leq 666 $; dove si ha una quaterna con $ n=a $ per ogni $ n $; si nota che il numero di quaterne (non ordinate per il momento) è sempre dato da $ 2\cdot(n-500)+1 $ (ossia sono rispettivamente i numeri dispari consecutivi da $ 1 $ fino a $ 333 $. Per esempio per $ n=666 $ si ha che la quaterna più "sproporzionata" (quella per cui è massima $ a-b $) è $ (667;666;666;1) $; ora posso pensare di far variare $ a $ e $ b $ di una unità (tenendo costante la somma) fino a ottenere la quaterna $ (667;666;334;333) $, dunque si hanno $ 333 $ quaterne. Il numero di quaterne con $ 667\leq n\leq 999 $, che non hanno elementi uguali, dovrá, a differenza di quelle precedentemente considerate, decrescere al crescere di $ n $ e notando che con $ n=667 $ si hanno $ 333 $ quaterne e con $ n=999 $, per quanto mostrato prima, se ne ha una sola, le quaterne devono necessariamente decrescere di uno alla volta.
Ora, finita la parte "creativa" del problema, bisogna semplicemente contare tutte le quaterne, le permutazioni di quelle con $ 667\leq n\leq 999 $, poiché aventi elementi tutti diversi tra loro, sono $ 4! $ per ognuna, mentre per $ 500\leq n\leq 666 $ se ne ha una per ogni $ n $ in cui $ a=n $ e dunque le sue permutazioni saranno $ \frac{4!}{2!} $ mentre per tutte le altre le permutazioni sono $ 4! $. Infine bisogna contare i modi totali di ottenere $ 2000 $ come somma di $ 4 $ addendi, tenendo conto dell'ordine, il che, usando la formula delle combinazioni con ripetizioni, risulta essere uguale a $ \binom{2000+4-1}{2000} $.
La probabilità cercata è data dunque da $ \frac{4!\left(\sum\limits_{i=1}^{332}i + \sum\limits_{j=0}^{166}(2j+1)\right)+\frac{4!}{2!}\cdot 167}{\binom{2003}{2000}} $ che, sviluppando le sommatorie con la formula di Gauss, risulta essere uguale a $ \frac{1998012}{1337337001} $. $ $
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da Ted Kaczynski » 22 mag 2019, 16:37

fph ha scritto:
22 mag 2019, 08:55
Giusto per capirci, stai considerando equiprobabili e indipendenti i singoli voti, vero? Nel senso, ognuno entra in cabina e tira un dado a quattro facce per decidere chi vota?
Scusa mi ero perso questo messaggio :( , comunque si: indipendenti ed equiprobabili.
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da fph » 23 mag 2019, 00:25

Ma allora il problema della tua soluzione è che quelle quaterne non sono equiprobabili. C'è un modo solo di ottenere la quaterna (2000,0,0,0), per esempio, ma 2000 modi di ottenere la quaterna (1999,1,0,0), quindi la seconda capiterà 2000 volte più spesso della prima.
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Re: Calcolo Probabilità

Messaggio da Ted Kaczynski » 23 mag 2019, 13:31

fph ha scritto:
23 mag 2019, 00:25
Ma allora il problema della tua soluzione è che quelle quaterne non sono equiprobabili. C'è un modo solo di ottenere la quaterna (2000,0,0,0), per esempio, ma 2000 modi di ottenere la quaterna (1999,1,0,0), quindi la seconda capiterà 2000 volte più spesso della prima.
Cavolo hai ragione. Penso che comunque basti aggiungere un multinomiale davanti, tuttavia invece di rifare i conti utilizzando il mio brutto metodo invito qualcuno a risolverlo in maniera formale.
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