Prodotto di tre numeri

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UW54
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Prodotto di tre numeri

Messaggio da UW54 » 26 gen 2019, 17:02

Come si può scrivere 6 alla 20 come prodotto di tre interi positivi?

mat2772
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Re: Prodotto di tre numeri

Messaggio da mat2772 » 26 gen 2019, 18:10

Per caso viene 53361?

UW54
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Re: Prodotto di tre numeri

Messaggio da UW54 » 26 gen 2019, 18:42

No, comunque avevo dimenticato di dire che due prodotti vanno considerati uguali se composti dagli stessi fattori.

UW54
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Re: Prodotto di tre numeri

Messaggio da UW54 » 31 gen 2019, 23:30

Ho risolto il problema, pubblico la soluzione se dovesse servire a qualcuno.
Testo nascosto:
6 alla 20 è chiaramente il prodotto di [math] alla [math] per [math] alla [math]. Ognuno di questi prodotti può essere scritto a sua volta come prodotto di tre numeri in [math] modi diversi (è semplice arrivarci): in [math] di questi i tre numeri sono tutti diversi, in [math] due dei tre numeri sono uguali. Adesso devo associare tra loro questi modi: 33 per 33 per 3! modi di associarli, [math] per [math] per [math] modi di associarli, [math] per [math] per [math] modi di associarli e infine [math] per [math] per [math] modi di associarli. La somma è il numero ricercato ovvero [math].

TeoricodeiNumeri
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Re: Prodotto di tre numeri

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 16 lug 2019, 23:47

A me viene un risultato differente.[math]
Testo nascosto:
In pratica ci viene questo in quanti modi $6^{20}$ può essere scritto come prodotto di tre fattori a meno dell'ordine in cui vengono scelti.
La tecnica (abbastanza standard) che propongo di conseguenza è la seguente:
1) troviamo quante sono le terne $(a,b,c)$ di numeri naturali per cui $a,b,c$ sono a coppie distinti e dividiamo per il numero delle permutazioni di $a,b$ e $c$ (cioè $3!=6$);
2) troviamo quante sono le terne $(a,b,c)$ di numeri naturali per cui esattamente due di essi sono uguali e dividiamo per $\frac{3!}{2!}=3$ che sono i modi di permutare $a$, $b$ e $c$;
3) sommiamo al totale $1$ qualora dovesse esistere un numero $n$ naturale per cui $n^3=6^{20}$, ma tale $n$ non esiste.

L'ordine in cui i punti sono disposti non rispecchia però il vero ordine di prosecuzione, in quanto per trovare il numero di terne di $a,b,c$ distinti ci troviamo il numero totale di terne e sottraiamo il numero di quelle in cui ci sono almeno due interi uguali.
Il numero delle terne (ordinate) in cui ci sono almeno due (ed in questo caso esattamente due) numeri uguali è pari a $3\cdot 21^2$ in quanto $21^2$ conta quante sono le terne in cui il primo e il secondo numero della terna sono uguali (l'esponente del $2$ può essere scelto in $21$ modi e similmente quello del $3$) e $3$ è il numero di modi di permutarli (Nota: non ci sono casi in cui i tre numeri sono uguali!). Perciò, poiché il numero totale di terne è banalmente $\binom{22}{2}\cdot \binom{22}{2}$, in quanto $\binom{22}{2}$ conta le possibili maniere di distribuire le valutazioni $2$-adiche ai numeri $a,b$ e $c$ e similmente per quelle $3$-adiche, si ha che il numero cercato è
\begin{equation}
\frac{\binom{22}{2}\cdot \binom{22}{2} -3\cdot 21\cdot 21}{6}+21\cdot 21=9114
\end{equation}

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