Probabilità su una sfera

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Fenu
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Probabilità su una sfera

Messaggio da Fenu » 02 gen 2019, 16:58

Vi propongo questo quesito molto carino.
Tizio A e Tizio B giocano in maniera particolare: Tizio A sceglie $2$ punti su una sfera, mentre Tizio B sceglie il terzo (senza sapere i $2$ punti scelti da Tizio A, dunque pressochè casualmente). Se il triangolo $\bigtriangleup ABC$ è acuto, vince Tizio A, altrimenti Tizio B. Sapendo che Tizio A ha scelto i $2$ punti in maniera tale da massimizzare la sua probabilità di vittoria, quanto vale quest'ultima?

EvaristeG
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da EvaristeG » 05 gen 2019, 21:49

viewtopic.php?f=16&t=9390&hilit=probabilit%C3%A0
Tutto dipende da cosa vuol dire "a caso".

Ilgatto
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da Ilgatto » 06 gen 2019, 13:53

Chiedo scusa se dico cose di cui non sono certo, ma mi pare che la scelta di un punto su una sfera sia possibile in un unico modo, quindi non dovrebbe esserci alcun problema nel trovare la soluzione. Anche perchè i due punti scelti da Tizio A non sono proprio a caso, in quanto la condizione sulla probabilità di vittoria dovrebbe determinarli univocamente a meno di rotazioni.

mat2772
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da mat2772 » 06 gen 2019, 16:03

Per caso la probabilità è 37/56=0,6607...? Adesso non ho tempo di illustrare la soluzione(sempre che sia corretta) ma intanto chiedo una conferma.

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Fenu
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da Fenu » 06 gen 2019, 16:12

Avevo fatto la stessa considerazione (che a questo punto ritengo erronea) di "Ilgatto". Sarò allora più chiaro, chiedendo esplicitamente di trovare il rapporto tra la superficie del luogo dei punti dove può venirsi a trovare $C$ (in maniera tale che $\bigtriangleup ABC$ sia acuto) e la superficie della sfera.
Per quanto riguarda la risposta di mat2772.. non mi torna il tuo risultato, ma ti chiederei di mostrare il tuo procedimento.

mat2772
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da mat2772 » 06 gen 2019, 17:45

Scusa Fenu ma oggi proprio non ho tempo di esporre il mio tentativo, ma intanto provo a chiederti un'altra conferma visto che avevo sbagliato i conti: sqrt(8/3)-1?

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Fenu
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da Fenu » 06 gen 2019, 18:10

Mh.. Magari hai sbagliato di nuovo i conti. Metto il risultato in spoiler
Testo nascosto:
$\frac{1}{\varphi}=\varphi-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Paolo Giaretta
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da Paolo Giaretta » 09 gen 2019, 14:50

Invio la mia soluzione:
Siano A e B i due punti sulla superfie della sfera [math] di raggio R e [math] la loro distanza. I due piani ortogonali al segmento AB passanti per gli estremi staccano su [math] due calotte sferiche uguali [math] di superficie [math]. Tutti i punti appartenenti a queste calotte sono da escludere perchè formano angoli in A o in B ottusi o retti.
Tutti i punti dello spazio che formano angoli retti o ottusi in C appartengono alla sfera di diametro AB, che stacca su [math] una calotta sferica da escludere [math] di superficie [math].
La probabilità in funzione di x è [math]. Massimizando la probabilità si ottiene [math] e [math].
Ultima modifica di Paolo Giaretta il 09 gen 2019, 16:55, modificato 1 volta in totale.

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Fenu
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Re: Probabilità su una sfera

Messaggio da Fenu » 09 gen 2019, 15:16

Corretta!

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