Distanze da verti$\mathbb{C}$i

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Fenu
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Distanze da verti$\mathbb{C}$i

Messaggio da Fenu » 09 dic 2018, 20:03

Abbiamo sul tavolo $997$ circonferenze unitarie numerate da $4$ a $1000$. La $i-esima$ circonferenza corrisponde alla circoscritta di un poligono regolare di $i$ lati. Denotiamo con $M(i)$ il prodotto delle distanze dai vertici ad un punto $P$ corrispondente al punto medio dell arco di circonferenza compreso fra due vertici consecutivi del poligono regolare inscritto nella $i-esima$ circonferenza: per esempio $M(4)$ corrisponderebbe al prodotto $PA\cdot PB \cdot PC \cdot PD$ dove $P$ corrisponde al punto medio dell'arco $AB$. Denotiamo con $D(i)$il prodotto delle distanze da un vertice del poligono inscritto nella $i-esima$ circonferenza a tutti gli altri (in questo modo $D(4)=AB\cdot AC \cdot AD$).
Determinare
$$\sum\limits_{i=4}^{1000} M(i)^i \cdot D(i).$$

TheRoS
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Re: Distanze da verti$\mathbb{C}$i

Messaggio da TheRoS » 13 dic 2018, 13:10

Ci provo.
Testo nascosto:
Iniziamo calcolando $D(n)$. Mettiamo il nostro $n$-agono regolare sul piano di Gauss in modo che i vertici corrispondano alle radici $n$-esime dell'unità (chiamiamole $\lambda_1=1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$). Prendiamo in considerazione la radice 1: la quantità $D(i)$ richiesta è dunque:
\begin{equation}
\prod_{j=2}^n|1-\lambda_j|=|\prod_{j=2}^n(1-\lambda_j)|
\end{equation}
Consideriamo ora il polinomio $Q(x)=(x-\lambda_2)\cdot\dots\cdot(x-\lambda_n)$, esso è uguale a:
\begin{equation}
\frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+\dots+1
\end{equation}
Dunque $|Q(1)|=D(n)=n$.
Calcoliamo adesso $M(n)$. Dato il nostro $n$-agono regolare, immaginiamo di prendere tutti gli $n$ punti medi degli archi che si formano. Se congiungiamo il tutto otteniamo un $2n$-agono regolare costituito dalla sovrapposizione di due $n$-agoni regolari (ruotati di $\frac{\pi}{2}$ uno rispetto all'altro). Prendiamo ora il nostro punto medio, sappiamo che il prodotto di tutte le distanze di questo vertice dagli altri $2n-1$ è $2n$, ma sappiamo inoltre che $M(n)\cdot D(n)=2n$ (perché i punti medi degli archi formano appunto un $n$-agono), dunque $M(n)=2$.
La quantità che ci ritroviamo a calcolare è dunque:
\begin{equation}
\sum_{i=4}^{1000} 2^i\cdot i
\end{equation}
Per calcolarla troviamoci dapprima $\sum_{i=1}^{1000} 2^i\cdot i$.
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{1000} 2^i\cdot i=2^1+2^2+2^2+\dots=(2^1+\dots+2^{1000})+(2^2+\dots+2^{1000})+....+(2^{1000})=2^{1001}-2+\dots+2^{i-1}(2+...+2^{1001-i})+\dots=
\end{equation}
\begin{equation}
=1000\cdot 2^{1001}-(2+\cdots+2^{1000})=999\cdot2^{1001}+2
\end{equation}
Togliendo i primi tre termini si ottiene dunque
\begin{equation}
999\cdot2^{1001}-32
\end{equation}
Ultima modifica di TheRoS il 13 dic 2018, 16:37, modificato 2 volte in totale.

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Fenu
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Re: Distanze da verti$\mathbb{C}$i

Messaggio da Fenu » 13 dic 2018, 15:06

Corretto!

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