Somma di numeri coprimi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Leonhard Euler
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Somma di numeri coprimi

Messaggio da Leonhard Euler » 08 dic 2018, 10:18

Per quali numeri interi [math] la somma dei numeri coprimi ad esso risulta suo multiplo?
Fra i numeri coprimi ad un numero è da considerarsi anche [math].
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

Parmenide
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Re: Somma di numeri coprimi

Messaggio da Parmenide » 08 dic 2018, 11:09

Bisogna considerare solo i numeri coprimi con $n$ minori di $n$ oppure anche quelli maggiori?

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Fenu
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Re: Somma di numeri coprimi

Messaggio da Fenu » 08 dic 2018, 12:10

Suppongo che si tratti di numeri inferiori ad $n$ altrimenti la somma va a $+\infty$.
Se $a$ e' coprimo con $n$, allora anche $(n-a)$ lo sarà. Supponiamo infatti che $n, n-a$ abbiamo un fattore $d$ in comune $\Rightarrow d|n-(n-a)=a$ e dunque si avrebbe $(a, n)\neq 1$.
Dunque, se i numeri coprimi con $n$ sono in numero pari, cosa che avviene per tutti gli $n\neq2$ in quanto $\varphi(n>2)$ e' pari banalmente, possiamo prendere le coppie $(a, n-a)$ che sommano ad $n$.
Risposta: $\fbox{Tutti gli $n>2$}$

Parmenide
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Re: Somma di numeri coprimi

Messaggio da Parmenide » 08 dic 2018, 12:20

Chiedevo proprio perché avevo il problema della somma a $+\infty$, per il resto la mia soluzione è uguale

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