FLT versione debole

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Parmenide
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FLT versione debole

Messaggio da Parmenide » 06 dic 2018, 20:47

Dimostrare che l'equazione $x^n+y^n=z^n$ non ha soluzioni $(x,y,z)$ intere positive per $n>2$ e $n\geq z$

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Fenu
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Re: FLT versione debole

Messaggio da Fenu » 07 dic 2018, 11:28

Spero di non aver preso qualche svista mega galattica.
Affrontiamo il caso $x=y$. L'equazione diventa
$$2\cdot x^n=z^n$$
che non ha soluzioni per $n\geq2$: basta infatti comparare le valutazioni $2-adiche$ di LHS ed RHS.

Sia ora senza perdità di generalità $x<y<z \Rightarrow x^z+y^z\leq (y-1) ^n+y^n$. Dato che $z\geq (y+1)^n$, basterebbe dimostrare che
$$(y-1)^n+y^n<(y+1)^n [1]$$
per concludere che non vi siano soluzioni intere all'equazione di partenza.
Dimostriamo quindi che per $y<n+1$ (che e' valida dato che $y<z<n$) vale la disuguaglianza $[1]$.
Sia ora per comodità $t=y-1$, la tesi da dimostrare diventa $t^n+(t+1)^n<(t+2)^n$. Espandendo quest'ultima otteniamo
$$t^n+t^n + \binom{n}{1}\cdot t^{n-1}+\binom{n}{2}\cdot t^{n-2}+...+n\cdot t + 1<t^n+\binom{n}{1}\cdot2\cdot t^{n-1}+...+\binom{n}{2}\cdot 2^{n-2}\cdot t^2 + n\cdot 2^{n-1}\cdot t + 2^n$$
e dunque, semplificando il termine $t^n$
$$t^n + \binom{n}{1}\cdot t^{n-1}+\binom{n}{2}\cdot t^{n-2}+...+n\cdot t + 1<\binom{n}{1}\cdot2\cdot t^{n-1}+...+\binom{n}{2}\cdot 2^{n-2}\cdot t^2 + n\cdot 2^{n-1}\cdot t + 2^n.$$
Riarrangiando si ricava
$$t^{n-1}(n)+t^{n-2}(3\binom{n}{2})+t^{n-3}(7\binom{n}{3})+...+2^n-1>t^n.$$
Ricordando che $t<n \Rightarrow t^n<n\cdot t^{n-1}$
e dunque se si avesse $LHS>n\cdot t^{n-1}$ la disuguaglianza sarebbe dimostrata.
Quest'ultima è banale (e larghissima) in quanto si riarrangia in
$$t^{n-2}(3\binom{n}{2})+t^{n-3}(7\binom{n}{3})+...+2^n-1>0$$
vera in quanto somma di termini positivi.
Aspetto correzioni.

Parmenide
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Re: FLT versione debole

Messaggio da Parmenide » 07 dic 2018, 15:22

A me sembra funzionare, anche se l'avevo fatta in modo leggermente diverso.

Il caso $x=y$ non funziona, c'è simmetria in $x,y$ e quindi wlog $x<y$, pertanto la condizione diventa $1\leq x<y<z\leq n$.

A quel punto $x^n=z^n-y^n=(z-y)\cdot (z^{n-1}+z^{n-2}y+...+y^{n-1})$

Ora $z-y\geq 1$ e $z^{n-1}+z^{n-2}y+...+y^{n-1} >nx^{n-1}>x^n$ da cui la tesi

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