Distanze in un poligono regolare

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Ventu06
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Distanze in un poligono regolare

Messaggio da Ventu06 » 02 ott 2018, 22:21

Consideriamo un poligono regolare di $n \ge 3$ lati e chiamiamo i sui vertici $V_1, V_2, \dots , V_n$.
Per ogni punto $P$ del piano, definiamo $f(P) = \prod\limits_{i=1}^{n} |P-V_i|$
cioè il prodotto di tutte le distanze dal punto ai vertici del poligono.
Trovare tutti i punti $P$ interni (compreso il bordo) al poligono che massimizzano $f(P)$.

Michael Pasquini
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Re: Distanze in un poligono regolare

Messaggio da Michael Pasquini » 16 ott 2018, 18:18

Io farei AM-GM

Ilgatto
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Re: Distanze in un poligono regolare

Messaggio da Ilgatto » 07 dic 2018, 10:44

Si potrebbe avere un hint? Ho capito quali sono i punti che massimizzano $f(P)$, ma sono ben lontano da una dimostrazione, anche se una possibile via mi è venuta in mente.
Metto tutto nascosto per lasciare la possibilità di non leggere:
Testo nascosto:
I punti sono i punti medi dei lati
Testo nascosto:
Forse possono tornare utili le radici $n$-esime dell'unità, visto che sono ai vertici di un poligono regolare di $n$ vertici

Ventu06
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Re: Distanze in un poligono regolare

Messaggio da Ventu06 » 07 dic 2018, 16:49

Il claim è giusto e la via che hai proposto porta a buoni risultati.
Forse questo problema sembra richiedere l'utilizzo dell'analisi (che infatti aiuta) e non molto quello della "geometria", per questo non mi era sembrato molto adatto, ma è possibile evitarla (quasi) del tutto grazie ad alcune interpretazioni geometriche.
Metto qui sotto alcuni Hint, riguardanti la mia soluzione (il problema è own, quindi non conosco altre vie).
Testo nascosto:
Utilizza i complessi per scrivere i vertici ed esprimere $f(P)$
Testo nascosto:
Dimostra che il massimo sta sul bordo, utilizzando $f(P)$ e qualche considerazione geometrica.
Cannone preferibilmente da evitare: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... imo_modulo
Testo nascosto:
Prendi un punto su un lato, "muoviti" di una distanza infinitesima e trova la direzione verso cui il modulo aumenta maggiormente; scrivi un'uguaglianza di argomenti.
Imponi quindi che la direzione di massima crescita sia perpendicolare al lato (ricorda di controllare gli estremi del lato).
Quel "(quasi)" riguardo l'analisi era riferito a questo punto.
Testo nascosto:
Interpreta in modo totalmente geometrico il risultato, trovando l'unico punto che soddisfa questa condizione.

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