IUSS 2011 N 2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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luigino
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IUSS 2011 N 2

Messaggio da luigino » 04 set 2018, 18:14

Dati due numeri primi p e q tali che q=p+2 con p >=5
Dimostrare che:
A. p+q divisibile per 6
B. Non esistono interi m n tali che $ m^2+n^2=(p+q)^2-1 $

Qualcunoi saprebbe dare una mano con il punto B?
Grazie

Gi.
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Re: IUSS 2011 N 2

Messaggio da Gi. » 04 set 2018, 18:47

Per A. si può notare che se $ p \ge 5 $ allora è necessariamente della forma $ 6k+5 $ per qualche $ k \in \mathbb{N} $, infatti se fosse della forma $ 6k+1 $ si avrebbe $ q=(6k+1)+2=3(2k+1) $ e $ q $ non sarebbe primo, per cui $ q=(6k+5)+2 \equiv_{6} 1 $, da cui $ p+q \equiv_{6} 5+1 = 6 \equiv_{6} 0 $, ossia $ 6 \mid p+q $

Per B., invece, notiamo che $ p $ e $ q $ sono uno della forma $ 4a+1 $ e l'altro di quella $ 4b+3 $ (per qualche $ a,b \in \mathbb{N\setminus\{0\}} $), da cui $ 4 \mid p+q $ e allora $ m^2+n^2 \equiv_{4} 3 $, assurdo.

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