Funzionali aiuto

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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abcdellamatematica
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Funzionali aiuto

Messaggio da abcdellamatematica » 07 ago 2018, 19:34

Buonasera aiutatemi con la risoluzione di suddetto esercizio:
Trovare le soluzioni della seguente equazione funzionale:
$ f(x+f(y))=f(x) $
Inoltre le soluzioni devono rispettare le seguenti proprietá:
Devono valere per ogni x,y razionale;
N deve essere un sottoinsieme dell'immagine di f(x).
Grazie in anticipo l'esercizio mi sta offrendo parecchi capogiri.

abcdellamatematica
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Re: Funzionali aiuto

Messaggio da abcdellamatematica » 08 ago 2018, 15:08

Buongiorno scusate mi sono espresso male:
la traccia non chiede di determinare tutte le soluzioni ma al contrario determinare se n'è esiste almeno una che rispetti siffatte proprietà.
Perdonatemi, abcdellamatematica.

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Gerald Lambeau
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Re: Funzionali aiuto

Messaggio da Gerald Lambeau » 08 ago 2018, 17:11

Hint:
Testo nascosto:
sì, esiste.
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Re: Funzionali aiuto

Messaggio da abcdellamatematica » 08 ago 2018, 19:21

E come ottengo effettivamente una soluzione?

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Gerald Lambeau
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Re: Funzionali aiuto

Messaggio da Gerald Lambeau » 08 ago 2018, 20:26

Hint 2:
Testo nascosto:
si gioca sul fatto che sono razionali, quindi sulle proprietà dei razionali; in particolare, sulla scrittura in frazione di interi ridotta ai minimi termini. Attenzione però: ti interessa solo uno fra numeratore e denominatore. Quale? Come lo usi?
Più di così non so aiutarti senza darti la soluzione, si tratta di un'idea standard ma che fa bene aver visto usare almeno una volta.
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Re: Funzionali aiuto

Messaggio da abcdellamatematica » 09 ago 2018, 10:52

Il suggerimento mi ha fatto pensare ad una funzione tale che presa una frazione $ a/b $ restituisca $ b $. Può funzionare?

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Re: Funzionali aiuto

Messaggio da Gerald Lambeau » 09 ago 2018, 15:14

Sì, è lei! :)
Chiaramente $a, b$ coprimi e $b$ strettamente positivo (il segno lo lasciamo ad $a$).
E se volessimo anche lo $0$? Nulla di più semplice, basta prendere $b-1$. E se volessimo che $\mathbb{N}$ sia un sottoinsieme dell'immagine ma non coincida con essa? $b-2$. Tanto ci interessa solo che l'immagine sia sempre intera.
Adesso però mi stavo chiedendo se è possibile far coincidere l'immagine con $\mathbb{Z}$... penso di sì.
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