Cercasi soluzioni 1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gorgia
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Cercasi soluzioni 1

Messaggio da Gorgia » 04 ago 2018, 11:05

Ciao a tutti, chi sa dirmi come dimostrare che esistono infinite coppie di interi positivi (m,n) tali che (m+1)/n + (n+1)/m sia un intero positivo?

Lello01
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Re: Cercasi soluzioni 1

Messaggio da Lello01 » 05 ago 2018, 16:43

Testo nascosto:
puoi dimostrare che quella espressione per infiniti m e n è uguale a 3 con vieta-jumping

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Fenu
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Re: Cercasi soluzioni 1

Messaggio da Fenu » 06 ago 2018, 11:59

Lascio un abbozzo di dimostrazione con Vieta's-Jumping.
Testo nascosto:
Riscriviamo l'espressione del testo come $\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=k$. Dimostriamo ora che, data una qualsiasi soluzione $(m, n, 3)$ è possibile ricavare una soluzione $(m', n', 3)$ tale che $min(m, n)<min(m', n')$.
Cominciamo esibendo una soluzione valida: chiaramente $m, n=2$ funzionano. Supponiamo ora di avere una coppia $(m, n)$ tale che $m\leq n$, e consideriamo il polinomio
$$x^2-(3n+1)x+n^2+n=0.$$
Quest'ultimo polinomio (considerato come quadratico in $x$)ha come soluzioni $m, a$. Per $Viete$ sappiamo che $m+a=3n+1$ ed $m*a=n^2+n$. Queste informazioni bastano per dedurre che non può valere $a\leq n$ (se non fosse, per esempio, $m*n\leq n^2<n^2+n$, o equivalentemente $a+m\leq 2n<3n+1$). Chiaramente $a$ è intero (stiamo infatti ragionando sulle radici di un polinomio monico a coefficienti interi che sappiamo avere di sicuro una radice intera), dunque la coppia $(a, n)$ verificherà l'espressione del testo, e dato che il minimo tra i due elementi (che ora è $n$) è maggiore del minimo della coppia precedente (che era invece $m$, che per supposizione era $\leq n$), segue che con questa procedura possiamo generare infinite coppie intere positive (siamo sicuri siano positive?), e dunque l'espressione iniziale è intera per infiniti valori di $m, n$.
Ti invito a riflettere sulle piccole cose che ho tralasciato, come per esempio l'accertarsi che la seconda radice è intera e positiva, e a capire come mai questo processo ci porta alla conclusione dell'esistenza di infinite soluzioni.

Gorgia
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Re: Cercasi soluzioni 1

Messaggio da Gorgia » 08 ago 2018, 15:26

Grazie mille!

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