OliForum Matematico

Aiuto!!!
Se
[math]a_1 = 1
[math]a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}
Qual è la parte intera di a2018?

$ a_{2018}= \sum _{k=1}^{2017} \dfrac{1}{k} $
Non penso ci sia un modo per calcolarla esattamente
(a parte fare il conto) ma si può fare una stima un po brutale del tipo
$ \sum_{k=1}^{1024} \dfrac{1} {k} < \sum _{k=1}^{2017} \dfrac{1}{k} < \sum _{k=1}^{2048} \dfrac{1}{k} $
A questo punto consideri i termini$ \dfrac{1}{2^k+1}
+ \cdots + \dfrac{1}{2^{k+1} } $
Sono $ 2^k $ termini tutti maggiori (o uguali) a
$ 2^{k+1} $ e dunque quella somma é maggiore di un mezzo da cui$ \sum _{k=1}^{2017} \dfrac{1}{k} > 6 $
Ora per far vedere che$ \sum _{k=1}^{2048} \dfrac{1}{k} <7 $ in particolare ci basta far vedere che
$ \sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \dfrac{1}{i}<1 $ in quanto poi basta fare un induzione. Ma questo é abbastanza ovvio perché sono $ 2^k $ termini tutti minori a $ \dfrac{1}{2^k} $
Sono consapevole di averla scritta malissimo ma spero tu capisca $ $