Problema 7

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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TheRoS
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Problema 7

Messaggio da TheRoS » 27 lug 2018, 15:43

Un insieme di interi $A$ si definisce ammissibile se per ogni $x, y\in A$ (non necessariamente distinti) vale che:
$x^2+kxy+y^2\in A\forall k\in\mathbb{Z}$
Determinare tutti i valori $m, n$ per cui l'unico insieme ammissibile che li può contenere entrambi è $\mathbb{Z} $.

TheRoS
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Re: Problema 7

Messaggio da TheRoS » 03 ago 2018, 21:08

Secondo le regole della maratona dovrei pubblicare la soluzione, però preferisco lasciare due hint:
Testo nascosto:
Considerare da prima l'mcm tra $m,n$, se fosse maggiore di 1 cosa accadrebbe?
Testo nascosto:
Dopo aver dimostrato che l'mcm deve essere necessariamente 1, saremmo molto felici se 1 appartenesse ad $A$ perché implicherebbe facilmente che $A=\mathbb{Z}$.

scambret
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Re: Problema 7

Messaggio da scambret » 04 ago 2018, 09:09

Vabbè dai, lo faccio io per sbloccare questa maratona.

Chiaramente mcd deve essere 1, altrimenti ogni elemento di A sarebbe divisibile dall'mcd e dunque A non è uguale a tutto Z.

Caso interessante, mcd = 1

Se $mcd(x,y)=1$ allora anche $mcd(x^2,y^2)=1$, ma allora per Bezout si possono trovare $z$ e $w$ tali che $zx^2+wy^2=1$.

Ora se $x$ appartiene a A, ponendo $y=x$ e $k=z-2$, anche $zx^2$ appartiene a A. Similmente anche $wy^2$ appartiene a A. Ora ponendo $k=2$, $x=zx^2$ e $y=wy^2$ si ottiene che $(zx^2+wy^2)^2=1^2=1$ appartiene a A. Ma allora ogni $n$ appartiene ad A, usando $x=y=1$ e $k=n-2$

TheRoS
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Re: Problema 7

Messaggio da TheRoS » 04 ago 2018, 10:29

Giusto, ora secondo le regole starebbe a te proporre il nuovo problema.

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