Rimembrando PreIMO_2017-G7

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Neottolemo
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Rimembrando PreIMO_2017-G7

Messaggio da Neottolemo » 23 lug 2018, 15:24

Ora che non si possono più inviare i problemi per il senior posso chiedere...

Ipotesi: Dato un triangolo $ABC$, $M$ punto medio di $AC$, sia $E$ l'intersezione tra la bisettrice di $\beta$ con $AC$, sia $X$ l'intersezione tra la retta $BM$ e la simmetrica di [math] rispetto a $AC$ ($\Gamma$), sia $R$ l'intersezione tra l'asse di $AC$ e $\Gamma$ nel semipiano delimitato da $AC$ non contenente $B$

Tesi: $X$, $E$, $R$ allinaeti


Qulacuno ha la più pallida idea su come farlo in sintetica?

ricarlos
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Re: Rimembrando PreIMO_2017-G7

Messaggio da ricarlos » 09 set 2018, 04:55

Testo nascosto:
$N = MR\cap (ABC) = BE\cap (ABC)$
$X'$ è simmetrico di $X$ rispetto a $AC$ (BX' è la B-simediana)
$B'$ è simmetrico di $B$ rispetto a $AC$

Allora $\Delta AB'C \cong \Delta ABC \rightarrow B', X', M$ sono allineati.

$\angle X'BN = \angle EBM = \theta$

$S= RN\cap (ABC)$

$\angle X'SN = \angle X'BN = \theta$

$\angle AMS = \angle NBS = \angle EBS = 90 \rightarrow EMSB$ è ciclico.

$\angle ESM = \angle EBM = \theta \rightarrow X', E, S$ sono allineati.

Infine, il riflesso del segmento $X'ES$ rispetto a $AC$ è $XER$.
dibu.gif
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