Cose a caso un po' analitiche

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
Rispondi
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 332
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Cose a caso un po' analitiche

Messaggio da Gerald Lambeau » 19 lug 2018, 20:29

NB: la domanda potrebbe andare anche in MNE, ma essendo più un dubbio teorico che un vero e proprio problema lo metto qui.

C'è qualche legame tra la densità asintotica di un sottoinsieme degli interi positivi e la divergenza/convergenza della serie degli inversi degli elementi di tale sottoinsieme?

Può darsi che mi stia perdendo qualcosa di ovvio, ma non riesco a dimostrare/confutare il seguente risultato: sia $S \subseteq \mathbb{Z^+}$ e supponiamo che esista una successione $n_1, n_2, \dots$ t. c. $\displaystyle \lim_{i \rightarrow \infty} \frac{|S \cap [1, n_i]|}{n_i}=c$ con $c$ costante maggiore di $0$ e, ovviamente, minore o uguale di $1$; è vero che $\displaystyle \sum_{s \in S} \frac{1}{s}$ diverge?

PS: i numeri primi sono un controesempio che prova che non vale il contrario, giusto?



EDIT: cercando altra roba di TdN mi sono imbattuto nel libro di Leo Moser, dove c'è la dimostrazione di quanto ho chiesto. Appena ho tempo la scrivo per chi fosse interessato (e per vedere se l'ho capita)
"If only I could be so grossly incandescent!"

Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 332
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Cose a caso un po' analitiche

Messaggio da Gerald Lambeau » 20 lug 2018, 11:55

Eccoci qua! Verranno date per ovvie alcune cose basilari sui limiti e sulle serie. Sotto, $n$ indica sempre un intero non negativo, e $n=0$ solo in casi particolari ben definiti (si spera).



Il fattaccio. Sia $S \subseteq \mathbb{Z^+}$ e sia $\displaystyle f(n)=|S \cap [1, n]|=\sum_{s \in S, \\ s \le n} s^0$ la funzione che conta il numero di elementi di $S$ minori o uguali di $n$; $f(n)=0$ se $\min{\{s \in S\}} >n$ (in particolare, $f(0)=0$). Allora se $\displaystyle \sum_{s \in S}^{\infty} \frac{1}{s}$ converge si ha che $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{n}=0$.



The proof. Sia $\displaystyle g(n)=\sum_{s \in S, \\ s \le n} \frac{1}{s}$; $g(n)=0$ se $\min{\{s \in S\}} >n$ (in particolare, $g(0)=0$). L'ipotesi di convergenza si traduce dunque con l'esistenza del limite finito $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} g(n)$.
Mostriamo per induzione che $\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^n i(g(i)-g(i-1))$. Passo base: $f(1)=1 \cdot (g(1)-g(0))=g(1)$. Per le definizioni date, $f(1)=0 \Leftrightarrow g(1)=0$. Se $f(1)=1$ allora $1 \le \min{\{s \in S\}} \le 1$ quindi $1 \in S$ e $g(1)=\frac{1}{1}=1=f(1)$. Passo base ok.
Passo induttivo: $\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^n i(g(i)-g(i-1))$. Allora $\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i(g(i)-g(i-1))=f(n)+(n+1)(g(n+1)-g(n))$. Se $n+1 \not\in S$ allora $g(n+1)=g(n)$ e pure $f(n+1)=f(n)$ quindi ok. Se $n+1 \in S$ $f(n+1)=f(n)+1$ e $g(n+1)=g(n)+\dfrac{1}{n+1}$: si sostituisce e torna tutto.
Consideriamo ora un generico $0<j<n$ nella somma $\displaystyle \sum_{i=1}^n i(g(i)-g(i-1))$. Il termine $g(j)$ compare per $i=j$ e per $i=j+1$ e dunque avrà coefficiente $i-(i+1)=-1$. Caso $j=0$: appare solo per $i=1$ dove ha comunque coefficiente $-1$. Caso $j=n$: appare solo per $i=n$ dove ha coefficiente $n$.
Quindi $\displaystyle f(n)=n \cdot g(n)-\sum_{i=0}^{n-1} g(i) \Rightarrow \frac{f(n)}{n}=g(n)-\frac{\sum_{i=0}^{n-1} g(i)}{n}$. Dobbiamo dunque calcolare $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{i=0}^{n-1} g(i)}{n}$. Per farlo, contiamo quante volte compare nella somma dei $g(i)$ il termine $\dfrac{1}{s}$ con $s \in S, s \le n-1$. Compare in tutte e sole le somme da $g(s)$ a $g(n-1)$ che sono $(n-1)-(s-1)=n-s$ e dunque avrà coefficiente $(n-s)$, che dovrà poi essere diviso per $n$. Se si fa tendere $n$ a più infinito, intanto compariranno tutti i termini $\dfrac{1}{s}$ con $s \in S$, poi per ciascuno di essi il coefficiente $\dfrac{n-s}{n}$ tenderà al limite per $n$ che va a più infinito di quella funzione, che è $1$. Dunque quella somma divisa per $n$ tenderà proprio a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{s \in S, \\ s \le n} \frac{1}{s}=\lim_{n \rightarrow +\infty} g(n)$, quindi il limite di $g(n)-quellaroba$ per $n$ che tende all'infinito è $0$ e di conseguenza $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{n}=0$, come voluto.



Ok, non sono stato proprio formalissimo quando ho fatto i limiti in fondo, ma penso si capisca. Adesso dimostriamo ovviamente che quanto detto sopra implica il mio dubbio: se la somma $\displaystyle \sum_{s \in S} \frac{1}{s}$ converge allora si ha per il fattaccio che $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{n}=0$, il che tradotto vuol dire che per ogni $\epsilon>0$ esiste $m \in \mathbb{Z^+}$ tale che $\dfrac{f(n)}{n}<\epsilon$ per ogni $n \ge m$, ma allora anche per infiniti $n_i$ della mia domanda originale, ma per come sono stati scelti per ogni $\xi>0$ esiste un $j \in \mathbb{Z^+}$ tale che per ogni $n_i \ge n_j$ si ha $\dfrac{f(n_i)}{n_i}>c-\xi$. Ma allora, per ogni $n_i \ge \max{\{m, n_j\}}$ valgono entrambe le disuguaglianze ottenendo $\epsilon>c-\xi \Rightarrow \epsilon+\xi>c$, assurdo poiché $c$ è costante e $\epsilon$ e $\xi$ possono essere scelti in modo che $\epsilon+\xi<c$. Fine.
"If only I could be so grossly incandescent!"

Rispondi