OliForum Matematico

Dimostrare che, dati $ a,b\in\mathbb{R^{+}} $

Per AM-GM
$
\frac{64a^3} {3}+\frac{b^3}{12}=
\frac{64 a^3}{3} +\frac{b^3}{24}+ \frac{b^3}{24} \geq
3 \sqrt[3] {\frac {64a^3b^6}{3 \cdot 24 \cdot 24}}=ab^2
$

Io ho usato la disuguaglianza di Young

Cioè @Maionsss? Potresti scrivere i passaggi della tua soluzione?

La disuguaglianza di Young dice che se $ a $ e $ b $ sono due reali positivi e $ p $ e $ q $ due reali $ >1 $ tali che $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ allora
$ \displaystyle ab \leq \frac{a^p} {p} +\frac{b^q} {q} $
Usando questa disuguaglianza su $ 8a $ e$ b^2 $ e con $ p=3 $ e $ q=\frac{3}{2} $
Si ha
$ \displaystyle 8ab^2 \leq \frac{512a^3}{3}+\frac
{2b^3}{3} $ da cui la tesi

È giusto quello che dice @1729, però io ho usato la formula diciamo più "generale" della disuguaglianza di Young.