Polinomi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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davide123
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Polinomi

Messaggio da davide123 » 25 giu 2018, 01:33

Chi potrebbe aiutarmi con questa dimostrazione????
Sia q un numero primo,sia f(x) un polinomio di grado al massimo q-2 a coefficienti interi.
Dimostrare che $\sum_{i=0}^{q-1}$ f(x) $\equiv$ 0 (mod q)

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Drago96
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Re: Polinomi

Messaggio da Drago96 » 25 giu 2018, 11:50

Questo fatto dovrebbe essere dimostrato in circa tutti i video dei Senior passati. Ti do un paio di hint per una possibile strada:
- Fallo sulle somme di potenze, cioè $\sum_{i=0}^{q-1}i^k\equiv0$; poi sui polinomi segue per linearità.
- Fissa un certo $x$ e capisci cos'è la somma $\sum_{i=0}^{q-1}(xi)^k$
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sg_gamma
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Re: Polinomi

Messaggio da sg_gamma » 26 giu 2018, 22:20

Colgo l'invito e provo a proporre una cosa, nonchè cogliere lo spunto per chiedere
Testo nascosto:
Se ho inteso bene la scrittura, come si vede dall'articolo su Wikipedia ( https://it.wikipedia.org/wiki/Somma_di_ ... successivi ), la formula di Faulhaber propone una sommatoria di termini in cui compare sempre [math] e, essendo [math] in questo caso, si ha una serie di termini sommati in cui compare sempre un fattore [math] con z non nullo. Cosa non mi torna però è la semplice considerazione secondo cui per [math] si ottiene che la sommatoria equivale a [math] e che non si spiega come mai per un polinomio di grado maggiore a [math] non vale più la congruenza. Sospetto che la scrittura [math] indichi piuttosto una certa funzione, e a quel punto posso solo vergognarmi...ma sempre meglio proporre, per quanto poco meditata sia la cosa sparata. Avevo provato precedentemente notato che in una sommatoria si ha sempre la comparsa di [math] elevato almeno a 1, ma ciò sarebbe conclusivo solo se [math] e se [math] fosse sempre coprimo con il denominatore della sommatoria: il suo essere sempre un numero intero è dopotutto un fatto certo.
Qualche informazione utile che posso trarre da quella sommatoria? Il non conoscere numeri e polinomi di Bernoulli non è particolarmente d'aiuto.

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Drago96
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Re: Polinomi

Messaggio da Drago96 » 27 giu 2018, 00:47

I numeri di Bernoulli $B_k$ sono semplicemente dei numeri razionali, ed è qua che sta il problema: non puoi dire "tutti gli $(n+1)^h$ sono multipli di $q$, quindi anche una loro somma con coefficienti lo è" appunto perché i coefficienti sono razionali e quindi potrebbero avere dei $q$ a denominatore.
In realtà penso che si possa concludere anche con la formula di Faulhaber, dato che i denominatori dei Bernoulli sono "conosciuti".
Comunque non pensavo assolutamente a quella formula, suggerivo solamente di semplificare un po' il problema e ragionare solo sui monomi.
E per mostrare che sui monomi fa $0$ conosco almeno un paio di strade: una è quella che ho scritto nel secondo punto, l'altra usa i generatori.
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Re: Polinomi

Messaggio da sg_gamma » 03 lug 2018, 19:55

Alla fine ho intrapreso una via credo abbastanza strana ma molto funzionale, con la quale ho dimostrato che ciò vale quando l'esponente è un qualsiasi dispari e ho dimostrato poi che per l'esponente q-1 la sommatoria non è valida: riapplicare il procedimento per l'esponente dispari nel caso di un esponente pari mi porta a dover dimostrare che
Testo nascosto:
la sommatoria deve essere congrua a 0 mod q per i valori di i compresi tra 0 e (q-1)/2, invece che fino a q-1; quando poi l'esponente è uguale a 0 in effetti, contrariamente alla svista del post precedente, il coefficiente compare q volte e non q-1...
È utile proseguire da lì nel caso di esponenti pari?

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Re: Polinomi

Messaggio da Drago96 » 03 lug 2018, 23:25

sg_gamma ha scritto:
03 lug 2018, 19:55
la sommatoria deve essere congrua a 0 mod q per i valori di i compresi tra 0 e (q-1)/2, invece che fino a q-1
Questa cosa è banalmente equivalente alla tesi: $(q-x)^{2h}\equiv x^{2h}\pmod q$ quindi $\sum_{i=0}^{q-1}i^{2h}\equiv2\sum_{i=0}^{\frac{q-1}2} i^{2h}$
Non so quale delle due sommatorie ti sia più comoda, e soprattutto come tu l'abbia dimostrato per gli esponenti dispari, che probabilmente sarebbe comodo per darti un aiuto.

Hai provato a vedere come lo dimostrano nei Senior passati?
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Re: Polinomi

Messaggio da bananamaths » 03 lug 2018, 23:38

Visto che si sta già parlando di sommatorie volevo chiedere che se abbiamo per esempio una funzione [math]e abbiamo per esempio una somma del tipo [math] posso dare per scontato che [math] sia uguale a [math]o devo dare delle spiegazioni(appunto quando devo mandare i problemi del senior)? mi scuso subito per la domanda ignorante.

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Lasker
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Re: Polinomi

Messaggio da Lasker » 03 lug 2018, 23:59

Banana quella proprietà misteriosa dovresti averla studiata in prima elementare circa la settimana dopo che hanno introdotto i numeri da 1 a 10 :roll:
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Re: Polinomi

Messaggio da bananamaths » 04 lug 2018, 01:53

Lasker ha scritto:
03 lug 2018, 23:59
Banana quella proprietà misteriosa dovresti averla studiata in prima elementare circa la settimana dopo che hanno introdotto i numeri da 1 a 10 :roll:
Ahh per questo dicevo che era una domanda stupida :lol: :oops: 8)

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Re: Polinomi

Messaggio da sg_gamma » 04 lug 2018, 12:05

Drago96 ha scritto:
03 lug 2018, 23:25
sg_gamma ha scritto:
03 lug 2018, 19:55
la sommatoria deve essere congrua a 0 mod q per i valori di i compresi tra 0 e (q-1)/2, invece che fino a q-1
Questa cosa è banalmente equivalente alla tesi: $(q-x)^{2h}\equiv x^{2h}\pmod q$ quindi $\sum_{i=0}^{q-1}i^{2h}\equiv2\sum_{i=0}^{\frac{q-1}2} i^{2h}$
Non so quale delle due sommatorie ti sia più comoda, e soprattutto come tu l'abbia dimostrato per gli esponenti dispari, che probabilmente sarebbe comodo per darti un aiuto.

Hai provato a vedere come lo dimostrano nei Senior passati?
Premetto che no, non ho guardato i Senior passati (e d'altronde sarebbe decisamente tedioso andare alla ricerca di una singola dimostrazione in mezzo ad anni di video...), per quanto riguarda invece gli esponenti dispari:
Testo nascosto:
Ho preso in considerazione i numeri $ 1^k,2^k,3^k,...(\frac{q-1}{2})^k $ e ho riscritto i successivi come $ (q-\frac{q-1}{2})^k,...(q-2)^k,(q-1)^k $. A questo punto, siccome k è dispari, la seconda metà dei numeri risulta congrua dopo aver sviluppato il binomio di Newton proprio all'opposto della somma della prima metà, per cui per qualsiasi k dispari il tutto si annulla e risulta congruo a 0 (mod q). Alla fine l'idea, per l'appunto, è la semplice tesi $ (q-x)^{2m+1} \equiv -x^{2m+1} \pmod q $.

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Re: Polinomi

Messaggio da Lasker » 04 lug 2018, 12:38

Guardati la lezione di darkcrystal al senior 2014, N medium
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Re: Polinomi

Messaggio da sg_gamma » 05 lug 2018, 15:08

Lasker ha scritto:
04 lug 2018, 12:38
Guardati la lezione di darkcrystal al senior 2014, N medium
Grazie mille! Ho visto la dimostrazione e ne ho approfittato per vedere la parte del video precedente in cui si trattava dei generatori mod p; se posso considerare noto il fatto che ne esistono $\varphi(p-1)$ o anche solo almeno 1 mi risparmio una bella catena di dimostrazioni, ho notato.

fph
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Re: Polinomi

Messaggio da fph » 05 lug 2018, 16:16

Sì sì dallo pure per noto, quello è "teoria standard olimpica".
--federico
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