Problema di un quadrato perfetto

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
fabinz
Messaggi: 8
Iscritto il: 30 mag 2018, 19:03

Problema di un quadrato perfetto

Messaggio da fabinz » 30 mag 2018, 19:15

Si dica per quanti valori di n il numero n^2 +340 è un quadrato.
Per risolvere il problema ho fatto:
n^2+340=k^2
340=k^2-n^2
340=(k-n)(k+n) (1)
Qui ho scomposto 340 e ho ottenuto i suoi divisori (qui metto solo quelli positivi) :

D(340): 2;4;5;10;17;20;34;68;85;170;340;1

Qui ho preso le coppie dei divisori tali che il loro prodotto fosse uguale a 340:
(1;340) (2;170) (4;85) (5;68) (10;34) (17;20).
Sono quindi 6 coppie, quindi 6 valori di n considerando l'equazione (1), e altri 6 valori per i numeri negativi. In tutto fanno 12 valori possibili.

Il mio risultato è corretto? Purtroppo non sono riuscito a trovare la soluzione su internet, quindi mi affido a voi :wink:
Grazie in anticipo.

Ilgatto
Messaggi: 35
Iscritto il: 24 ott 2017, 16:36

Re: Problema di un quadrato perfetto

Messaggio da Ilgatto » 31 mag 2018, 07:50

Ti consiglio di fare nella $(1)$ un ragionamento sulla parità dei due fattori $(k+n)$ e $(k-n)$. Intendo dire ad esempio: se $k$ è pari e $n$ è dispari come sono i fattori (sempre ragionando sulla parità)? Così ti accorgerai che qualcosa va corretto.

fabinz
Messaggi: 8
Iscritto il: 30 mag 2018, 19:03

Re: Problema di un quadrato perfetto

Messaggio da fabinz » 31 mag 2018, 08:51

Ciao Ilgatto,
Innanzitutto grazie della risposta. Ho fatto quello che hai detto e credo di aver capito quello che intendevi.
Ho visto che se k e n sono pari, allora sia (k+n) che (k-n) sono pari, e il loro prodotto è pari. Se uno dei due è dispari, allora (k+n) e (k-n) sono dispari, e il loro prodotto sarà anch'esso dispari. Mentre se k e n sono dispari, (k-n) e (k+n) sono pari, e il loro prodotto pari.
Quindi quello che mi sembra di aver capito è che dovrei togliere le coppie (1;340) (4;85) (5;68) (17;20), in quanto sono formate da un numero dispari e uno pari, e quindi è impossibile ottenere tali coppie con gli interi. Quindi sarebbero in tutto 2 coppie per gli interi positivi e 2 per quelli negativi, quindi 4 valori di n per il quale n^2 + 144 è un quadrato. Giusto?

Ilgatto
Messaggi: 35
Iscritto il: 24 ott 2017, 16:36

Re: Problema di un quadrato perfetto

Messaggio da Ilgatto » 31 mag 2018, 14:20

Sì, era proprio quello che intendevo

fabinz
Messaggi: 8
Iscritto il: 30 mag 2018, 19:03

Re: Problema di un quadrato perfetto

Messaggio da fabinz » 31 mag 2018, 14:36

Grazie mille !

Rispondi