Gara a squadre Tor Vergata 2015

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maionsss
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Gara a squadre Tor Vergata 2015

Messaggio da Maionsss » 14 mag 2018, 14:12

Qualcuno può spiegarmi gentilmente il problema 19 del file che lascio in allegato... Non so proprio da dove partire :?.
Ringrazio in anticipo :D
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Lasker
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Re: Gara a squadre Tor Vergata 2015

Messaggio da Lasker » 14 mag 2018, 16:34

Questo problema mi da dei dolci ricordi visto che fui uno dei due a risolverlo in sessione all'allenamento online :lol:
Visto che non sai ancora cosa sono le derivate, i problemi di Tor Vergata coi polinomi potrebbero in generale risultare ostici comunque (capitano in un problema su due, questo compreso).

In realtà è piuttosto facile/standard (ma tecnico), come idee ti basta notare che $244$ è molto più piccolo di $2015$ e quindi se entrambi i polinomi li trasformi in serie (infinite) di potenze aggiungendo termini di grado alto non cambia nulla (questo semplificherà di molto i calcoli, anche se non è necessario). Ma le due serie infinite (viste come funzioni generatrici/collezioni di coefficienti, non come funzioni vere e proprie...) $P_1$ e $Q_1$ sono piuttosto facili da scrivere, infatti $P_1=\frac{1}{1+x}$ mentre $Q_1$ lo ricavi derivando due volte $\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}$ (e moltiplicando una volta per $x$ prima della seconda derivata, trucco analogo a quello che ho usato ad esempio qui viewtopic.php?f=15&t=20775 ) e viene $Q_1=\frac{-1-x}{(1-x)^3}$
Quindi alla fine vuoi il termine di grado $244$ dell'espansione in serie di
$$P_1(x)^{12}Q_1(x)^3=\frac{1}{(1+x)^{12}}\cdot \frac{(1+x)^3}{(1-x)^9}=\frac{(1+x)^3}{(1-x^2)^9(1+x)^3}=\frac{1}{(1-x^2)^9}$$
E lo sviluppo di $\frac{1}{(1-x)^k}$ è noto ed uguale a $\sum_{i=0}^{\infty}{k-1+i \choose k-1}x^i$, quindi la risposta è ${122+9-1 \choose 9-1}=1624177854000$
Visto che la risposta è un binomiale abbastanza semplice magari la puoi vedere combinatoricamente lasciando stare le derivate etc però questo è il modo che il propositore del problema aveva in mente (o almeno credo :D ). Una cosa che noti con questo approccio è che $12$ e $3$ non sono numeri a caso come parrebbe ad una prima occhiata, servono a far semplficare $(1+x)^3$, quindi qualche semplificazione buffa che tenga conto di questa cosa va trovata anche in una soluzione alternativa
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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Gi.
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Re: Gara a squadre Tor Vergata 2015

Messaggio da Gi. » 15 mag 2018, 13:12

Per evitare le derivate:

ricaviamo dapprima l'espressione per $ P(x) $

$ \displaystyle \boxed{P(x)}=\sum_{i=0}^{2015}{(-x)^i}=\frac{1-(-x)^{2016}}{1-(-x)}=\boxed{\frac{1-x^{2016}}{1+x}} $

Assumendo $ 0<|x|<1 $ (ci interessano solo i coefficienti del polinomio!), sostituendo $ 2015 $ con un generico $ n $ e facendo tendere $ n $ all'infinito otteniamo l'espressione scritta da Lasker.



Sia ora $ S=Q(x) $, allora

$ S-xS=(1-x)S=1+3x+5x^2+...+3031x^{2015}-2016^2x^{2016} $

e (se non sto sbagliando qualche conto, che comunque non dovrebbe compromettere il risultato nel passaggio al limite)

$ (1-x)S-x(1-x)S=(1-x)^2S=2(1+x+x^2+...+x^{2015})-1-2017^2x^{2016}+2016^2x^{2017}= $

$ \displaystyle =2\left(\frac{1-x^{2016}}{1-x}\right)-1-2017^2x^{2016}+2016^2x^{2017} $

$ \displaystyle Q(x)=S=2\left(\frac{1-x^{2016}}{(1-x)^3}\right)-\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{2017^2x^{2016}+2016^2x^{2017}}{(1-x)^2} $

Con il medesimo procedimento di prima arriviamo a $ \displaystyle \boxed{\frac{1+x}{(1-x)^3}} $



Nota: una veloce, ma autonoma, discussione sulle funzioni generatrici e sulle loro applicazioni può essere trovata alle pagg. 132-142 del testo The Art and Craft of Problem Solving.

Maionsss
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Re: Gara a squadre Tor Vergata 2015

Messaggio da Maionsss » 15 mag 2018, 22:10

Grazie mille a entrambi per le soluzioni,
Siete stati molti chiari ed esaustivi, alla prossima ;)

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