Quadrilateri ciclici

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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BENNY1400
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Quadrilateri ciclici

Messaggio da BENNY1400 » 06 mag 2018, 13:35

Ho trovato questo problema su Aops e non riesco a risolvere il punto b)
[math] è l'incentro di [math]. Le rette [math] intersecano la parallela a [math] passante per [math] nei punti [math], rispettivamente. Gli assi dei segmenti [math] intersecano [math] nei punti [math], rispettivamente.

a)Dimostrare che [math]

Si considerino due punti [math] sulla circonferenza circoscritta ad [math] tali che [math].

b)Dimostrare che [math] biseca [math]

Grazie in anticipo per l'aiuto

spugna
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Re: Quadrilateri ciclici

Messaggio da spugna » 07 mag 2018, 17:35

$P$ e $Q$ sono le intersezioni tra la circonferenza circoscritta ad $ABC$ e la circonferenza di diametro $DE$, di cui chiamiamo $O$ il centro. Detto invece $M$ il punto medio di $XY$, la tesi è $M \in PQ$, cioè $M$ appartiene all'asse radicale delle due circonferenze, cioè $M$ ha la stessa potenza rispetto a queste ultime. Dal punto (a) sappiamo che $IXY$ è isoscele in $I$, quindi $M$ è la proiezione di $I$ su $BC$, le cui distanze da $B$ e $C$ sono $\dfrac{a \pm (c-b)}{2}$ (dove $a,b,c$ sono i lati di $ABC$), e considerando la corda $BC$ la potenza rispetto alla circonferenza circoscritta è $\dfrac{(b-c)^2-a^2}{4}$. D'altra parte, da un facile angle chasing segue $AD=c$ e $AE=b$, con $D$ ed $E$ da parti opposte rispetto ad $A$, e ponendo WLOG $b \ge c$, $O$ ed $M$ sono da parti opposte rispetto ad $AB$ e $OA=\dfrac{b-c}{2}$, quindi traslando tramite $\overrightarrow{OA}$, $O$ va ovviamente in $A$, mentre $M$ va nel punto $K \in BC$ tale che $BK=BM+OA=\dfrac{a+c-b}{2}+\dfrac{b-c}{2}=\dfrac{a}{2}$, ovvero il punto medio di $BC$. Ricapitolando, la circonferenza di diametro $DE$ ha raggio $\dfrac{b+c}{2}$, e la distanza di $M$ dal suo centro è $AK$, perciò la potenza di $M$ rispetto a tale circonferenza è $\left(AK- \dfrac{b+c}{2} \right) \left( AK + \dfrac{b+c}{2} \right)=AK^2-\left( \dfrac{b+c}{2} \right)^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}-\dfrac{b^2+2bc+c^2}{4}=\dfrac{(b-c)^2-a^2}{4}$, che è lo stesso risultato di prima.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

BENNY1400
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Re: Quadrilateri ciclici

Messaggio da BENNY1400 » 08 mag 2018, 18:03

Grazie mille

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