Un calcolo incredibile

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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marspitzalis
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Un calcolo incredibile

Messaggio da marspitzalis » 24 mar 2018, 21:21

Qual è il risultati di (2*4)-(6*8)+(10*12)-...(2018*2020), nel quale figurano tutti i numeri pari da 2 a 2020 e i cui vari prodotti consecutivi sono alternativamente aggiunti e sottratti?

Vinci
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Re: Un calcolo incredibile

Messaggio da Vinci » 25 mar 2018, 09:54

Testo nascosto:
$-4027960$ ??

Talete
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Re: Un calcolo incredibile

Messaggio da Talete » 25 mar 2018, 11:25

Testo nascosto:
Direi che detto $2020=:8n+4$, vogliamo calcolare
\[\sum_{i=0}^{n-1} [(8i+2)(8i+4)-(8i+6)(8i+8)] + (8n+2)\cdot(8n+4).\]
Svolgendo il conto all'interno della sommatoria:
\[(8i+2)(8i+4)-(8i+6)(8i+8)=64i^2+48i+8-64i^2-112i-48=-8(8i+5).\]
Adesso la sommatoria dei $5$ vale banalmente $5n$, mentre quella degli $8i$ vale $4n(n-1)$. Dunque ciò che vogliamo calcolare è
\[-8(4n^2-4n+5n)+(8n+2)\cdot(8n+4)=-32n^2-8n+64n^2+48n+8=32n^2+40n+8=8(4n^2+5n+1)=8(n+1)(4n+1).\]
Nel nostro caso è $8\cdot253\cdot1009=2042216$. :D
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

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Lasker
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Re: Un calcolo incredibile

Messaggio da Lasker » 11 apr 2018, 08:16

Testo nascosto:
Consideriamo il polinomio
$$p(x):=-1+x^2-x^4+x^6+...+x^{1010}=\frac{x^{1012}-1}{1+x^2}$$
Deriviamo entrambi i membri due volte rispetto ad $x$
$$p''(x):=1\cdot 2-3\cdot 4 x^2+4\cdot 5 x^4-...+1009\cdot1010 x^{1008}=\frac{2 (1 - 3 x^2 + 511566 x^{1010} - 1021107 x^{1012} + 509545 x^{1014})}{(1 + x^2)^3}$$
Osserviamo che guardando il LHS la risposta è $4p''(1)$, quindi valutiamo il RHS in $1$, ottenendo come risultato finale $2042216$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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