Restano da dimostrare i due lemmi, e lo si può fare usando alcuni fatti basilari sui birapporti...
1) Siano $JK$ e $LM$ due corde di $\Gamma$ passanti per $U$, congiungiamo questi quattro punti con $P$ e prendiamo le intersezioni con $r$, ottenendo i punti $J',K',L',M'$, insieme al già costruito $U'$: vogliamo dimostrare che $U'J' \cdot U'K'=U'L' \cdot U'M'$ (dove le distanze vanno intese con segno), o equivalentemente $\dfrac{U'J'}{U'M'}=\dfrac{U'L'}{U'K'}$, che usando i birapporti si riscrive come $[S',U';M',J']=[S',U';K',L']$, dove $S'$ è il punto all'infinito di $r$. Detta $s$ la parallela a $r$ passante per $P$ (che è tangente a $\Gamma$ per costruzione) il primo membro diventa $[s,PU'';PM,PJ]=[KP,KU'';KM,KJ]=[P,U'',Z,U]$, dove $U''$ è la seconda intersezione di $\Gamma$ e $PU$, mentre $Z$ è l'intersezione di $KM$ e $PU$. In modo analogo, il secondo membro diventa $[s,PU'';PK,PL]=[MP,MU'';MK,ML]=[P,U'';Z,U]$.
2) Supponendo che esista $A \in \Gamma$ tale che $V \in AC$ e $W \in AB$, si ha $\dfrac{Q'C'}{Q'B'}=[S',Q';B',C']=[s,PQ;PB,PC]=[AP,AQ;AB,AC]=[P,Q;W,V]$, che è una costante.