$f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

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Messaggio da jordan » 29 gen 2018, 22:57

Esiste una funzione $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ tale che $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni aperto $U\neq \emptyset$?
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 16 feb 2018, 11:34

Hint?
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Messaggio da jordan » 18 feb 2018, 12:39

Piccolo hint:
Testo nascosto:
Si esiste
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 18 mar 2018, 14:27

Se $x\in \mathbb{R}$, sia $x=x_1x_2...x_{n_x},x_{n_x+1}...$ la sua unica espansione decimale con $0\leq x_i \leq 9$ e $x_1\neq 0$.
Allora $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \space | \space f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{x_i}{i}&\textrm{ se $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{x_i}{i}\in \mathbb{R}$}\\0&\textrm{ se $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{x_i}{i}\notin \mathbb{R}$}\end{array}\right.$
dovrebbe soddisfare le richieste per il Teorema di Riemann-Dini unito al fatto che la somma di una serie dipenda praticamente solo dalla coda.
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da jordan » 18 mar 2018, 17:49

Ciao Riccardo, l'espansione decimale non è unica, ma ammettiamo di prendere la "piu' corta" possibile. Ora, fissiamo un reale $x$ e come suo intorno $I$ prendiamo wlog tutti i reali che hanno le stesse cifre in base $10$ fino a $k$ cifre dopo la virgola (cioè fino a $x_{n_x+k}$). Come usi Riemann-Dini per concludere che, dato $r$, esiste $i \in I$ tale che $f(i)=r$?
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 18 mar 2018, 19:59

Non ho specificato che nelle mie intenzioni i numeri reali non ammettono periodo 9 (per evitare che il buon Paolo Maurizio Soardi si rivolti nella.. pensione). Per quanto riguarda il resto, non mi ero reso conto che quel teorema non può essere usato facilmente come credevo essendo fissata l'alternanza dei segni, bisognerebbe quindi dire qualcosa di diverso. Seppur credo che anche la funzione di cui sopra soddisfi, più che cambiare argomentazione mi viene da modificare la funzione in
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{x_i}\frac{x_i}{i}&\textrm{ se $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{x_i}\frac{x_i}{i}\in \mathbb{R}$}\\0&\textrm{ se $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{x_i}\frac{x_i}{i}\notin \mathbb{R}$}\end{array}\right.$
L'abbozzo di dimostrazione dovrebbe potersi concludere esibendo una coda semplicemente ma non assolutamente convergente. Proponiamo il periodo 413: si può notare che fa al caso nostro sfruttando $\frac{4}{n}-\frac{4}{n+1}\leq \frac{4}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{3}{n+2}\leq \frac{4}{n}-\frac{4}{n+2}$.
Sperando non ci siano altri errori, sono note altre funzioni o modi di esprimere cose analoghe a questa radicalmente differenti?
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da EvaristeG » 19 mar 2018, 16:34

RiccardoKelso ha scritto:
18 mar 2018, 19:59

L'abbozzo di dimostrazione dovrebbe potersi concludere esibendo una coda semplicemente ma non assolutamente convergente. Proponiamo il periodo 413: si può notare che fa al caso nostro sfruttando $\frac{4}{n}-\frac{4}{n+1}\leq \frac{4}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{3}{n+2}\leq \frac{4}{n}-\frac{4}{n+2}$.
Sperando non ci siano altri errori, sono note altre funzioni o modi di esprimere cose analoghe a questa radicalmente differenti?
Non capisco:
  1. una coda di chi? perché per ogni $x$ la serie è diversa e l'alternanza dei segni è diversa
  2. cosa c'entrano semplice e assoluta convergenza con la surgettività della funzione? puoi far convergere la serie a quello che vuoi modificando l'ordine degli addendi, ma niente ti garantisce che per ogni reale $r$ e per ogni intorno di $x$ esista un $y$ in quell'intorno tale che $f(y)$ sia la riordinata della serie $f(x)$ che converge a $r$.
  3. cosa vuoi dire con "periodo 413"?

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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 20 mar 2018, 17:53

a. Nella seconda funzione proposta il segno di un addendo dipende unicamente dalla cifra (quindi non dalla sua posizione).
c. periodo 413 $\sim x=x_1x_2...x_{n_x},x_{n_x+1}...x_{almeno\space da\space qui\space in\space poi}413413413413413413...$
b. Dovrebbe seguire da questi ultimi chiarimenti. Ovviamente non ritengo di aver scritto una dimostrazione, ma mi sembrano passaggi più faticosi da esplicitare che da intuire, in particolare se il fine è di proporre la soluzione annettendo a grandi linee il ragionamento.
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da EvaristeG » 21 mar 2018, 14:43

RiccardoKelso ha scritto:
20 mar 2018, 17:53
b. Dovrebbe seguire da questi ultimi chiarimenti. Ovviamente non ritengo di aver scritto una dimostrazione, ma mi sembrano passaggi più faticosi da esplicitare che da intuire, in particolare se il fine è di proporre la soluzione annettendo a grandi linee il ragionamento.
Il fine è farsi capire.
E a quanto pare non ci sei riuscito granché bene, visto che né io ne jordan riuscivamo a capirti.

In particolare, ti è stato chiesto due volte perché la tua costruzione implicasse che vicino ad ogni numero ce ne fosse uno che dava il risultato voluto; invece di non rispondere o dire che è ovvio, potevi spendere due parole, ad esempio:
fissiamo $x,y\in\mathbb{R}$ e $\epsilon>0$, allora, dato $n\in\mathbb{N}$ tale che $\epsilon>10^{-n+1}$, posso trovare un numero $x_1$ tale che $|x-x_1|<\epsilon/2$ e la cui espansione decimale dopo la cifra $n$-esima (dopo la virgola) è $413413413\ldots$. Quindi $f(x_1)$ fa
$$\sum_{k=0}^n(-1)^{x_k}\dfrac{x_k}{k}+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{4}{3k+n+1}-\dfrac{3}{3k+n+2}-\dfrac{1}{3k+n+3}\right)=A+\Sigma$$
dove $A$ è una somma finita e $\Sigma$ è una serie non assolutamente convergente. Riordinando i termini ottengo una serie $\Sigma'$ che converge a $y-A$; riordinare i termini equivale a permutare le cifre del numero $x_1$ dopo la cifra $n$-esima, cambiandolo quindi al più per $10^{-n}<\epsilon/2$, ottenendo così un numero $x_2$ tale che $f(x_2)=y$ e $|x-x_2|<\epsilon$.

Nota: non ho capito che volevi fare questo ragionamento da quel che hai scritto tu, ma dal fatto di conoscere un'altra soluzione che ha lo stesso tipo di finale.

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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 22 mar 2018, 10:49

Non argomenterò su quanto si sarebbe potuto/dovuto capire da ciò che ho scritto visto che è indubbio il fatto che io non sia stato chiaro. Tuttavia mi sembra altrettanto evidente che tu (mi permetto di dartelo e lo dico senza sarcasmo) abbia frainteso una cosa che dal mio punto di vista ha una notevole rilevanza: (credo fermamente che) non è vero che jordan non abbia capito cosa intendessi, mi ha invece chiesto spiegazioni in quanto per mostrare che la prima funzione da me proposta soddisfacesse le richieste non si poteva usare il teorema da me citato; al contrario della seconda proposta, riguardo alla quale si ragiona esattamente nei termini da te esplicitati. Per concludere ribadisco in primo luogo di non aver speso "due parole" per il semplice fatto che il mio intento non esulava dal ricevere una risposta da colui che ha proposto il problema, ed inoltre ho continuato a non farlo anche perché il tuo primo intervento conteneva due punti su tre non imputabili a una mia negligenza mentre il terzo era esattamente quel passaggio che richiedeva qualche riga di attenzione essendo altresì lampante a chiunque avesse passato qualche momento al ragionare sul problema, cosa che ho data per scontata per colui che l'ha proposto. La cosa buffa è che avrei impiegato meno tempo ad esplicitare tutto sin dall'inizio, ma spero di aver reso chiare le mie ragioni ed intenzioni.
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da EvaristeG » 22 mar 2018, 12:11

RiccardoKelso ha scritto:
22 mar 2018, 10:49
Tuttavia mi sembra altrettanto evidente che tu (mi permetto di dartelo e lo dico senza sarcasmo) abbia frainteso una cosa che dal mio punto di vista ha una notevole rilevanza: (credo fermamente che) non è vero che jordan non abbia capito cosa intendessi, mi ha invece chiesto spiegazioni in quanto per mostrare che la prima funzione da me proposta soddisfacesse le richieste non si poteva usare il teorema da me citato;
Se vuoi ti (mai chiesto il lei) screenshotto la conversazione su fb con jordan che mi dice "meno male che sei intervenuto perché non capisco cosa sta dicendo".
RiccardoKelso ha scritto:
22 mar 2018, 10:49
al contrario della seconda proposta, riguardo alla quale si ragiona esattamente nei termini da te esplicitati.
Ecco, la parte divertente è che il finale che io ti ho proposto è sbagliato.
E invece di dirti dove sta l'errore, ti dico perché ogni finale con il teorema di riordinamento è sbagliato su una simile funzione:
- $f(x)$ è una serie di termini del tipo $a(n,x_n)$ che dipendono dall'ennesima cifra decimale di $x$ e anche, esplicitamente, da $n$; ora, passare da $n$ a $x_n$ è legittimo, passare da $x_n$ a $n$ no ( $n\mapsto x_n$ non è iniettiva)
- quando permuti le cifre di $x$ da un certo punto in poi, ottieni la funzione che è somma dei termini $a(n,x_{\sigma(n)})$, quindi cambi la parte che dipende dalla cifa, ma non quella che dipende dalla posizione nella serie
- quindi non stai riordinando i termini della serie, li stai proprio cambiando, e nulla ti garantisce di arrivare alla conclusione voluta.

Ti chiedevamo entrambi più chiarimenti perché non riuscivamo a capire dove si annidava l'errore. Se uno propone una soluzione errata ad un problema non ha senso né dirgli "no" e basta, né dirgli "no, la mia giusta è questa" (magari completamente diversa ... non so, ma immagino, che jordan abbia una soluzione che usa il fatto di passare tra diverse basi numeriche).
Però, per puntare il dito all'errore e lasciare che la persona possa correggerlo, magari alla fine arrivando ad una soluzione che il propositore non aveva trovato, serve che chi risponde sia abbastanza dettagliato.

Ora
RiccardoKelso ha scritto:
22 mar 2018, 10:49
]e perché il tuo primo intervento conteneva due punti su tre non imputabili a una mia negligenza
mi stai dicendo che due di quelle cose erano ovvie e sono scemo io a non averle capite. Ci potrebbe pure stare.
Però, nella mia (parziale e limitata) esperienza come matematico, mi sono sentito rivolgere domande ovvie un sacco di volte da colleghi, a volte più scarsi, a volte molto più bravi, e alla fine sotto c'era sempre un possibile fraintendimento, quando non i prodromi di un errore successivo.
Intanto non è detto che chi propone il problema o chi commenta ne sappia più di te e dunque rispondere comunque è un atto di cortesia comunitaria; inoltre anche se il proponente ne sa più di te, non è detto che veda e pensi come vedi e pensi tu e quindi potrebbe capire le cose in modo diverso e non fare gli stessi collegamenti.

(btw, l'espressione "periodo 413" non era chiara manco per un cazzo - quindi è negligenza tua, e la domanda "quale coda?" è esattamente il busillis su cui cade la non-dimostrazione che ho fornito io)

Detto ciò, la tua soluzione si può sistemare, ma non con il teorema di riordinamento preconfezionato.

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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 22 mar 2018, 13:31

EvaristeG ha scritto:
22 mar 2018, 12:11
$f(x)$ è una serie di termini del tipo $a(n,x_n)$ che dipendono dall'ennesima cifra decimale di $x$ e anche, esplicitamente, da $n$; ora, passare da $n$ a $x_n$ è legittimo, passare da $x_n$ a $n$ no ( $n\mapsto x_n$ non è iniettiva)
Pensavo di aver eliminato questo problema cambiando la dipendenza del segno ma non avevo considerato il denominatore. Così, è vero, l'argomentazione è ancora insensata.
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da RiccardoKelso » 22 mar 2018, 19:18

Se $x\in \mathbb{R}$, sia $x=x_1x_2...x_{n_x},x_{n_x+1}...$ la sua unica espansione decimale con $0\leq x_i \leq 9$ e $x_1\neq 0\space$(assumendo non esistano reali periodici con periodo uguale a $9$).
Allora $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \space | \space f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{x_i}{i}&\textrm{ se $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{x_i}{i}\in \mathbb{R}$}\\0&\textrm{ se $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{x_i}{i}\notin \mathbb{R}$}\end{array}\right.$
soddisfa le richieste.
WLOG siano $z,y \in \mathbb{R}$, $\epsilon >0$ e $U=(z-\epsilon ,z+\epsilon)$. Sia $\tilde{n} \in \mathbb{N} \space tc\space \epsilon>10^{-\tilde{n}-1}$. (possiamo supporre anche che $n_z+\tilde{n}$ sia pari)
Costruiamo una successione di reali appartenenti a $U$ nel seguente modo: l'espansione decimale del primo termine sarà $X_0=z_1...z_{n_z},z_{n_z+1}...z_{n_z+\tilde{n}+1}\overline{0}$ (cioè è periodico con periodo uguale a $0$), poi ricorsivamente
$X_{k+1}=\left\{\begin{array}{ll}X_k+10^{-(\tilde{n}+1+2k)-1}&\textrm{ se $f(X_k)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n_z+\tilde{n}+1+2k}(-1)^i\frac{{X_k}_i}{i}<y$}\\X_k+10^{-(\tilde{n}+1+2k)-2}&\textrm{ se $f(X_k)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n_z+\tilde{n}+1+2k}(-1)^i\frac{{X_k}_i}{i}>y$}\\X_k&\textrm{ se $f(X_k)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n_z+\tilde{n}+1+2k}(-1)^i\frac{{X_k}_i}{i}=y$}\end{array}\right.$
$(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ è di Cauchy in quanto $|X_a-X_b|<10^{-(\tilde{n}+2min\{a,b\})}$, essendo che per costruzione la loro espansione decimale coincide fino alla $(\tilde{n}+2min\{a,b\}+1)esima$ cifra dopo la virgola. $\mathbb{R}$ è completo, sia allora $P$ il reale a cui la successione converge.
Se $f(X_0)=y$ ho finito. Sia WLOG vero che $f(X_0)>y$. Essendo che $\forall n \in \mathbb{N}, \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{n+2k}=+\infty$ necessariamente $\exists {k_1} \in \mathbb{N} \space tc \space f(X_{{k_1}})>y>f(X_{{k_1}+1})$ (se almeno una delle due fosse un'uguaglianza avrei finito) insieme a $|f(X_{{k_1}})-y|<10^{-(\tilde{n}+{k_1})}$. Per le stesse ragioni, iterando, $\forall l \in \mathbb{N} \space \exists {k_{l+1}}>{k_l} \space tc \space |f(X_{{k_{l+1}}})-y|<|f(X_{{k_{l+1}}})-f(X_{{k_l}+1})|>|y-f(X_{{k_l}+1})|$. Ma allora è anche vero che $|f(X_{{k_l}})-y|<10^{-(\tilde{n}+{k_l})}$. Infine, essendo che $(k_n)_{n\in \mathbb{N}}$ diverge a $+\infty$, si ha che $y=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty} f(X_k)$ (in quanto successione di Cauchy con sottosuccessione convergente), in particolare $\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty} f(X_k)\in \mathbb{R}$. Ma $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i\frac{P_i}{i}=\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty} f(X_k)$, quindi $f(P)=y$.
Mi scuso per essere stato arrogante mentre ero in torto marcio dal punto di vista delle argomentazioni logiche. Spero abbiate voglia di valutare anche questa proposta di dimostrazione, questa volta i buchi dovrebbero avere davvero misura nulla (come ad esempio il fatto che effettivamente la successione stia in $U$ o il fatto che indipendentemente da dove parta a un certo punto scavalco y in quanto la serie armonica modificata in quel modo diverge).
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Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Messaggio da EvaristeG » 23 mar 2018, 03:01

L'idea ora torna: riadattare la dimostrazione del teorema di riordinamento. Il punto fondamentale è che ogni coda dell'armonica diverge e quindi puoi passare da un lato all'altro di $y$ cambiando i segni (e usando solo i reciproci dei pari o dei dispari).
Con lo stesso schema di dimostrazione, si poteva usare anche la funzione $f(x)=\sum_k (-1)^{x_k}(1/k)$ (posta a $0$ quando la serie non converge).
Oppure si possono usare varianti di questo ragionamento create con le basi numeriche, in modo da saper scrivere al volo il numero senza lanciarsi in approssimazioni:
facciamolo da $(0,1)$ a $(0,1)$ che tanto sui reali è uguale; prendiamo un numero $x$ e scriviamo il suo sviluppo in base $10$ (con infiniti $9$, ogni volta che si può) e poniamo $f(x)=0$ se ci sono infiniti $9$ (consecutivi o meno ... $f(0,\overline{19})=0$).
Se invece c'è un numero finito di $9$, diciamo che l'ultimo $9$ è in posizione $k$-esima dopo la virgola e consideriamo il numero $y=\{10^kx\}$ (parte frazionaria) ... ora, lo sviluppo decimale di $y$ non contiene nessun $9$ (moltiplicando per $10^k$ son finiti tutti a sinistra della virgola e son scomparsi prendendo la parte frazionaria) e quindi possiamo interpretarlo come scrittura in base $9$; il numero risultante è $f(x)$.
Il modo di produrre un numero arbitrariamente vicino a $x$ tale che $f(x)=r$ per un dato $r$ è praticamente lo stesso: si tronca $x$ dopo abbastanza cifre per starci abbastanza vicini, ci si mette poi un $9$ e poi lo sviluppo di $r$ in base $9$.

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Messaggio da jordan » 23 mar 2018, 19:01

Grazie a Sam prima di tutto per la pazienza. Sembra anche a me che la soluzione esplicita sia corretta (ero scettico a riguardo).

Riccardo, la definizione della funzione era chiara, ma non riuscivo a capire perchè funzionasse (per lo meno, non dove volessi utilizzare il teorema di riordinamento). Ho pensato anch'io al problema per un paio di giorni a tempo perso, ma mi arresi quasi subito ad utilizzare quel risultato (ed è il motivo per cui sta in Mne). Visto che mi hai chiesto una soluzione alternativa, la scrivo qui sotto:

"Per ogni $x \in \mathbf{R}$ sia $r(x)$ il suo rappresentante in $\mathbf{R}/\mathbf{Q}$. Sia $h: \mathbf{R}/\mathbf{Q}\to \mathbf{R}$ una biezione, che esiste perchè hanno la stessa cardinalità. Allora $f=h\circ r$ verifica le ipotesi."
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