Massimizzare aree
- Leonhard Euler
- Messaggi: 42
- Iscritto il: 01 gen 2018, 15:12
Massimizzare aree
Sia ABC un triangolo di base AB fissata, con la somma degli altri due lati costante. Si cerchi il rapporto fra i lati BC ed AC per cui l’area di ABC sia massima.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)
Re: Massimizzare aree
Chiamo $x$ la somma tra BC e AC
Per la formula di Erone:
$$A=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{\frac{x+AB}{2}\frac{x-AB}{2}\frac{x+AB-2BC}{2}\frac{x+AB-2AC}{2}}$$
Per massimizzare l'area devo quindi rendere massimo il prodotto:
$$(x+AB-2BC)(x+AB-2AC)=x^2+AB^2+4BC \cdot AC+2ABx-2(x+AB)AC-2(x+AB)BC$$
Che equivale a massimizzare $BC \cdot AC$.
Ora scrivo $BC=x-AC$. Il prodotto è quindi $-AC^2+xAC$. Il punto di massimo è il vertice della parabola che ha $AC=\frac{-b}{2a}=\frac{x}{2}$
L'area massima si ha quindi quando $AC+BC=2AC$ ovvero quando il triangolo è isoscele sulla base AB. Il rapporto è quindi $1$
Per la formula di Erone:
$$A=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{\frac{x+AB}{2}\frac{x-AB}{2}\frac{x+AB-2BC}{2}\frac{x+AB-2AC}{2}}$$
Per massimizzare l'area devo quindi rendere massimo il prodotto:
$$(x+AB-2BC)(x+AB-2AC)=x^2+AB^2+4BC \cdot AC+2ABx-2(x+AB)AC-2(x+AB)BC$$
Che equivale a massimizzare $BC \cdot AC$.
Ora scrivo $BC=x-AC$. Il prodotto è quindi $-AC^2+xAC$. Il punto di massimo è il vertice della parabola che ha $AC=\frac{-b}{2a}=\frac{x}{2}$
L'area massima si ha quindi quando $AC+BC=2AC$ ovvero quando il triangolo è isoscele sulla base AB. Il rapporto è quindi $1$
Re: Massimizzare aree
Oppure: A e B sono i fuochi di un'ellisse, su cui si muove C. L'altezza massima si ha quindi quando ABC è isoscele su base AB
Re: Massimizzare aree
Da qui ti basta AM-GM comunque
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Re: Massimizzare aree
Ma che derivate... Se abbiamo un punto che si muove su un'ellisse, la sua distanza dall'asse maggiore è massima quando tale punto coincide con uno dei vertici dell'asse minore. In altri termini, le ellissi (interno incluso) sono corpi convessi simmetrici rispetto al loro centro, per cui è tutto banale.
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -