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Sapreste spiegarmi cosa si intende per norma su $ \Re $ di un numero o di un polinomio? In particolare, perché norma su $ \Re $ di $ a+b\sqrt{x}=a^2+b^2x $ ?

Boh di solito è definito come il prodotto di un numero per il suo coniugato. Il coniugato di $a+b\sqrt{x}$ è $a-b\sqrt{x}$ e quindi il loro prodotto è $a^2-b^2x$. Quella che scrivi tu è la norma di $a+b\sqrt{-x}$ (come nel caso in cui $x=1$ e quindi $\sqrt{-x}=i$).

Non c'è una definizione di un anello $\mathcal{R}$ da qualche parte prima di questa norma?