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Stima rumena
Inviato: 11 nov 2017, 20:46
da Talete
Dimostrare che
\[\frac12+\frac13+\frac15+\ldots+\frac1p<10,\]
dove $p$ è il più grande primo minore di $2^{100}$.
Re: Stima rumena
Inviato: 11 nov 2017, 22:03
da Gerald Lambeau
Curioso, stavo cercando problemi sui primi e proprio poco fa mi sono imbattuto nello stesso problema, ma con $8$ al posto di $10$...
Re: Stima rumena
Inviato: 12 nov 2017, 11:07
da Talete
Ma infatti la stima è migliorabilissima. Mi pare che la migliore costante sia intorno a $7.6188$ (è $\sqrt[7]{3533040}-1$).
Re: Stima rumena
Inviato: 12 nov 2017, 12:04
da Talete
Come mi suggerisce Gerald Lambeau, con il teorema di Mertens (che non è l'attaccante del Napoli) si può ottenere che la somma a lhs è minore di
\[\ln \ln 2^{100}+0.27+\frac{4}{\ln (2^{100}+1)}+\frac{2}{2^{100}\ln(2^{100})}<4.57.\]
Ma la mia stima si raggiunge in modo completamente elementare
Re: Stima rumena
Inviato: 04 gen 2018, 16:48
da Gerald Lambeau
Rilancio: dimostrare che quella somma vale almeno $3.74$.