Hanno arrestato Gobbino!

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da Talete » 06 nov 2017, 18:39

Massimo è stato imprigionato. Deve rimanere $n+1$ giorni in galera, allora decide di segnare ogni giorno una linea sul muro. Il primo giorno disegna una retta a caso, dal secondo giorno in poi invece lancia una moneta: se esce testa disegna una retta parallela alla prima, se esce croce disegna invece una retta perpendicolare alla prima. Qual è il numero medio di regioni in cui il piano cui appartiene il muro della cella viene diviso da queste rette, quando Massimo esce di prigione?
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Ilgatto
Messaggi: 38
Iscritto il: 24 ott 2017, 16:36

Re: Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da Ilgatto » 15 nov 2017, 22:57

Per facilitare la spiegazione, consideriamo la prima retta orizzontale, se non lo fosse, ruotiamo il piano per renderla tale.
Definiamo $x \ge 0$ il numero di rette verticali e $y\ge 1$ il numero di rette orizzontali compresa la prima. Sapendo che le rette totali sono tante quanti i giorni, allora $x+y= n+1$.
La probabilità che ci siano $x_1$ rette verticali e $y_1$ orizzontali piuttosto che $x_2$ e $y_2$ è la stessa a parità di numero di rette totali, visto che la moneta si suppone non truccata.
Il numero di regioni in cui viene diviso il piano è $(x+1)(y+1)$ perchè ogni retta verticale aumenta di uno le colonne della tabella che si ottiene dividendo il piano, mentre ogni retta orizzontale aumenta di uno le righe della tabella; ricordando che con $0$ rette si ha comunque una regione, si trova la suddetta formula.
Ora troviamo quante sono le possibili permutazioni di lanci che mi portano ad avere dei determinati valori di $x$ e $y$, esse sono:
$$\frac {n!}{x!(y-1)!}$$
Ricordando che la prima retta è sempre orizzontale.
Il numero medio di regioni sarà quindi dato, fissato $n$, dalla somma di tutte le permutazioni per ogni $x$ e $y$ possibile ognuna moltiplicata per il numero di regioni del piano che genera, tutto diviso per $2^n$, cioè il numero di possibili disposizioni con ripetizione dei lanci della moneta. Posso poi scrivere $y$ come $n+1-x$. Risulta quindi:
$$\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{\frac{(x+1)(n-x+2)n!}{x!(n-x)!}}}{2^n}=\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{\frac{(x+1)(n-x+2)}{(n-x)!}\frac {n!}{x!}}}{2^n}=\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{(x+1)(n-x+2)\frac{(n-x+1)!}{(n-x)!}}}{2^n}=\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{(x+1)(n-x+2)(n-x+1)}}{2^n}$$
Non saprei come scriverla senza la sommatoria, qualcuno ha un'idea?

Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da Talete » 16 nov 2017, 19:29

A me il conto vien diverso (viene una cosa di secondo grado e non di terzo). Comunque puoi usare questo per riscrivere la sommatoria in modo bello (ma dovresti dimostrarlo però :P )
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

iTaralliSonoBuoni
Messaggi: 1
Iscritto il: 29 set 2019, 21:17

Re: Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da iTaralliSonoBuoni » 10 ott 2019, 13:48

Soluzione che funge per 0 e 1 => assumo sia giusta
Testo nascosto:
Premessa: la somma con x da 0 a n di (n bin x) è 2^n.
Definendo x il n° di rette |- alla prima il n° di aree sarà (x+1)*(n-x+2). La probabilità che ce ne siano x è (1/2^n) *(n bin x).
Il risultato S sarà dunque la somma con x da 0 a n (da ora invece che scrivere questo scriverò § (questo simbolo è scelto a caso) di
(1/2^n*(n bin x)*(x+1)*(n-x+2).
Si raccoglie 1/2^n e si ottiene
1/2^n*§(n bin x)*(-x2+x*(n+1)+(n+2))
Ora definisco:
S0=§(n bin x)*(n+2)=n*2^n+2^(n+1)
S1=§(n bin x) *x*(n+1)=(n+1)§(n bin x)*x
Escludo il caso x=0 che si annulla e poi raccolgo da n bin x n/x, il risultato sarà:
S1=(n+1)*§n/x*(n-1 bin x-1)*x, x si semplifica con x e il risultato è:
S1=(n^2+n)*2^n
S2=-§x^2*(n bin x) con procedimento analogo al precedente trovo
S2=-n*§-x*(n-1 bin x-1) a questo punto ottengo che la sommatoria è uguale a
§(n-1 bin x-1)+§(n-1 bin x-1)*(x-1)
(riscrivendo x come x-1+1), utilizzo ancora lo stesso metodo e ricompongo S2 e trovo
S2=-(2^(n-2))*(n2-n)-n*(2^(n-1))
Ora S=1/2^n*(S0+S1+S2) e facendo un paio di passaggi algebrici trovi (n2+5n+8)/4. per 0 viene 2 (solo la prima) e per 1 viene 3.5 (la media fra i 3 delle 2 parallele e i 4 delle due perpendicolari).
Spero sia stato comprensibile, bye

Rispondi