Con i complessi.
$A'=a, B'=b, C'=c$ sulla circonferenza unitaria, dunque $O=0$. Siano $P=p, Q=q$.
La condizione $\widehat{PA'B'}=\widehat{PB'C'}=\widehat{PC'A'}$ si riscrive come
$\displaystyle \frac{a-p}{a-b} \cdot \frac{\bar{a}-\bar{b}}{\bar{a}-\bar{p}}=\frac{b-p}{b-c} \cdot \frac{\bar{b}-\bar{c}}{\bar{b}-\bar{p}}=\frac{c-p}{c-a} \cdot \frac{\bar{c}-\bar{a}}{\bar{c}-\bar{p}}$.
Anaolgamente otteniamo per $q$
$\displaystyle \frac{b-q}{b-a} \cdot \frac{\bar{b}-\bar{a}}{\bar{b}-\bar{q}}=\frac{c-q}{c-b} \cdot \frac{\bar{c}-\bar{b}}{\bar{c}-\bar{q}}=\frac{a-q}{a-c} \cdot \frac{\bar{a}-\bar{c}}{\bar{a}-\bar{q}}$
Dopo vari passaggi algebrici, ta cui: sostituire $\displaystyle \bar{a}=\frac{1}{a}$ e cicliche, semplificare, moltiplicare tutto per $-abc$ otteniamo per $p$ che
$\displaystyle c \cdot \frac{a-p}{\bar{a}-\bar{p}}=a \cdot \frac{b-p}{\bar{b}-\bar{p}}=b \cdot \frac{c-p}{\bar{c}-\bar{p}}$
e per $q$ che
$\displaystyle c \cdot \frac{b-q}{\bar{b}-\bar{q}}=a \cdot \frac{c-q}{\bar{c}-\bar{q}}=b \cdot \frac{a-q}{\bar{a}-\bar{q}}$.
Consideriamo $\displaystyle c \cdot \frac{a-p}{\bar{a}-\bar{p}}=a \cdot \frac{b-p}{\bar{b}-\bar{p}}$. Moltiplicando otteniamo
$a(\bar{a}-\bar{p})(b-p)=c(a-p)(\bar{b}-\bar{p})$
$b-ab\bar{p}-p+ap\bar{p}=a\bar{b}c-ac\bar{p}-\bar{b}cp+cp\bar{p}$ e cicliche.
Analogamente otteniamo
$b-bc\bar{q}-q+cq\bar{q}=a\bar{b}c-ac\bar{q}-a\bar{b}q+aq\bar{q}$ e cicliche.
Sommando le tre per $p$ tra loro e le tre per $q$ tra loro notiamo che nel primo caso si semplificano i termini contenenti $\bar{p}$, nel secondo quelli contenenti $\bar{q}$, quindi diventano
$\displaystyle a+b+c-3p=\sum_{cyc} \bar{a}bc-p\sum_{cyc}\bar{a}b$ e
$\displaystyle a+b+c-3q=\sum_{cyc} \bar{a}bc-q\sum_{cyc}a\bar{b}$.
Quindi
$\displaystyle p=\frac{\sum_{cyc}(a-\bar{a}bc)}{3-\sum_{cyc}\bar{a}b}$ e
$\displaystyle q=\frac{\sum_{cyc}(a-\bar{a}bc)}{3-\sum_{cyc}a\bar{b}}$.
Che bello, conosciamo $p$ e $q$
! Ora notiamo che, essendo $O=0$, $PO=QO$ sta a significare che $p$ e $q$ devono avere la stessa distanza dall'origine, cioè i loro moduli devono essere uguali: $p\bar{p}=q\bar{q}$.
Ma allora, siccome per come li abbiamo scritti in frazione i numeratori sono uguali, quando andremo ad uguagliare i moduli essi si semplificheranno, quindi ci basta dimostrare che siano uguali i moduli dei denominatori.
Ora è banale notare che
$\displaystyle \left(3-\sum_{cyc}\bar{a}b\right)\overline{\left(3-\sum_{cyc}\bar{a}b\right)}=\left(3-\sum_{cyc}\bar{a}b\right)\left(3-\sum_{cyc}a\bar{b}\right)=\overline{\left(3-\sum_{cyc}a\bar{b}\right)}\left(3-\sum_{cyc}a\bar{b}\right)$,
quindi i moduli dei denominatori sono effettivamente uguali, da cui, per quanto detto, si ha la tesi.