Proprietà della media p-esima

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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dduss
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Proprietà della media p-esima

Messaggio da dduss » 30 ago 2016, 15:06

Buongiorno a tutti, ho delle difficoltà a dimostrare delle proprietà della media p-esima di un vettore di reali positivi definita come $M_{p}\left(x_1;x_2;...;x_n\right)=\left(\frac{1}{n}\sum x_i ^p\right)^{1/p}$. Sono riuscito a dimostrare che $$\lim_{p \to 0}M_p=GM=\sqrt[n]{\prod x_i}$$
ma ho problemi a dimostrare $$\lim_{p \to -\infty}M_p=min(x_1;...;x_n)=l$$ $$\lim_{p \to +\infty}M_p=max(x_1;...;x_n)=L$$ e che $ M_p $ è crescente in $ p $.
D'accordo che $ l\leq M_p\leq L $ ma come si arriva a quelle conclusioni? Poi per la crescenza speravo nella derivata ma pure quella è obbrobriosa...

Talete
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Re: Proprietà della media p-esima

Messaggio da Talete » 30 ago 2016, 15:56

Chiamo $M$ il massimo tra gli $x_i$.

Voglio trovare

\[\lim_{p\rightarrow+\infty} \left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i^p}{n}\right)^{1/p}.\]

Definisco $y_i$ come $x_i/M$ e quindi posso scrivere

\[\lim_{p\rightarrow+\infty} \left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i^p}{n}\right)^{1/p}=\lim_{p\rightarrow+\infty} \left(\frac{M^p\cdot\sum_{i=1}^n y_i^p}{n}\right)^{1/p}=\lim_{p\rightarrow+\infty} \left[M\cdot\left(\frac{\sum_{i=1}^n y_i^p}{n}\right)^{1/p}\right].\]

Ora notiamo che, per ogni $i$, si ha che $y_i^p$ tende ad $1$: infatti $0<x_i\le M$ e quindi $0<y_i\le 1$. Dunque la sommatoria tende a $n$, dunque il contenuto della parentesi tonda tende a $1$, che elevato alla $1/p$ tende comunque a $1$, e moltiplicato per $M$ tende a $M$.

Sono stato parecchio impreciso formalmente, ma l'idea è questa. Stessa cosa con il minimo.

Per la crescenza prova ad usare Jensen, credo che porti a qualcosa di buono...
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dduss
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Re: Proprietà della media p-esima

Messaggio da dduss » 30 ago 2016, 21:29

Hmmm... scusa ma se un $ y_i $ è minore di 1, $ y_i^{p} $ non tende a 0? :?: Comunque bell'idea, ora ci lavoro un po', grazie :D

Talete
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Re: Proprietà della media p-esima

Messaggio da Talete » 30 ago 2016, 22:11

dduss ha scritto:Hmmm... scusa ma se un $ y_i $ è minore di 1, $ y_i^{p} $ non tende a 0? :?: Comunque bell'idea, ora ci lavoro un po', grazie :D
Yes, ma si aggiusta facilmente ;) almeno spero...
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Re: Proprietà della media p-esima

Messaggio da fph » 31 ago 2016, 00:06

Sì, si aggiusta facilmente: per quello che avete detto, la base tende a $k/n$, dove $k$ è il numero di $x_i$ che sono uguali a $M$, e l'esponente tende a $0$, quindi per le proprietà dei limiti la potenza tende a $(k/n)^0=1$.
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