Problemi SNS 2016

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wotzu
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Problemi SNS 2016

Messaggio da wotzu » 28 ago 2016, 16:11

Apro una discussione dei problemi di quest'anno anche qui,
mi piacerebbe sapere le soluzioni del 4 quello dei dadi e del 6 quello del polinomio.

fph
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da fph » 28 ago 2016, 18:00

A me invece piacerebbe sapere i testi :p
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mr96
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da mr96 » 28 ago 2016, 23:05

Faccio il 4 in maniera standard, non so se ci fossero soluzioni più combinatoriche

Testo: Per dirla spiccia, voglio trovare due dadi, uno a 4 e uno a 9 facce, tali che tutte le facce abbiano interi positivi, anche ripetuti, e che abbiano la stessa distribuzione di probabilità del lancio di due dadi a 6 facce equilibrati (lanciandoli entrambi, ovviamente)

Soluzione
Testo nascosto:
Scrivo la generatrice di un dado a 6 facce: $ P(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 $, voglio trovare due polinomi $ Q(X),S(X) $ tali che $ Q(x)S(x)=P^2(x) $ e che la somma dei coefficienti di $ Q(x) $ sia 4 e quella dei coefficienti di $ S(x) $ sia 9.

Riscrivo bene $ P(x)=x\frac{x^6-1}{x-1} $ e uso il fatto che $ x^n-1 $ sia il prodotto dei $ \Phi_d $ tali che $ d \mid n $, quindi ottengo $ P^2(x)=x^2(x+1)^2(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 $, a sto punto mi basta risistemare i fattori, ovvero: $ (x+1)^2 $ va per forza in $ S(x) $, poiché ha somma dei coefficienti 4, $ (x^2+x+1)^2 $ va per forza in $ Q(x) $, $ x^2 $ va diviso altrimenti ti rimangono i termini noti, e a sto punto hai 3 casi che sono le soluzioni (e che non scrivo per pigrizia :lol: )

Talete
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da Talete » 15 set 2016, 17:31

Boh ho fatto il 4 anch'io che non avevo niente da fare, però in modo assai diverso. Non son sicuro sia giusto però...
Testo nascosto:
Traslo indietro tutti e quattro i dadi (quelli da 6, quello da 4 e quello da 9) di modo che $x$ vada in $x-1$ (cioè ora le facce dei dadi da sei sono: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$).

Ora cerco di scomporre un dado da sei in uno da due e in uno da tre. Poi ricomporrò i due dadi da due nel dado da quattro e i due dadi da tre nel dado da nove. Per intenderci, con scomporre un dado $A$ in altri due $B$ e $C$ intendo che, se un valore $a$ del dado $A$ ha probabilità $p$ di uscire, allora $p$ è la probabilità che, tirando $B$ e $C$, escano due numeri $b$ e $c$ tali che $a=b+c$.

Dato che tutti i numeri sui dadi all'inizio e alla fine sono non negativi e interi, è buona creanza che lo siano anche i dadi da due e tre (e questo è il punto su cui sono più in dubbio). Ora dunque un dado da sei traslato indietro lo devo scomporre in un dado da due che avrà come facce $0$ e $x$, e in un dado da tre che avrà come facce $0$, $y$ e $5-x$. Usciranno quindi equiprobabilmente $0$, $x$, $y$, $x+y$, $5-x$ e $5$. Lasciamo un attimo da parte lo $0$ e il $5$: $x$, $y$, $x+y$ e $5-x$ devono valere $1$, $2$, $3$ e $4$ (sotto qualche permutazione). In particolare, $x+y+x+y+5-x=10$, che ci porta a $y=(5-x)/2$: ottima notizia perché $5-x$ dev'essere quindi pari, $x$ è dispari e tra $1$ e $4$ dunque ci sono solo i casi $x=1$ e $x=3$.

Le decomposizioni del dado da sei del tipo (0,1,2,3,4,5) sono dunque (0,1)x(0,2,4) oppure (0,3)x(0,1,2).

Il dado da quattro potrà essere quindi (0,1)x(0,1), (0,1)x(0,3) oppure (0,3)x(0,3): a questo punto tutto è fissato perché i dadi da nove seguono.

Abbiamo ottenuto le seguenti coppie (dado da quattro)x(dado da nove):
(0,1,1,2)x(0,2,2,4,4,4,6,6,8)
(0,1,3,4)x(0,1,2,2,3,4,4,5,6)
(0,3,3,6)x(0,1,1,2,2,2,3,3,4)

Adesso aggiungiamo 1 ad entrambi i dadi in ogni coppia e troviamo quelli che vuole Alberto.

EDIT: il x non indica che vanno moltiplicati i dadi, ma tirati assieme e sommati i punteggi... è più un prodotto cartesiano dai spero si capisca
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da mr96 » 15 set 2016, 17:50

Mi pare che il testo dicesse che non puoi mettere 0 sulle facce, inoltre non ho capito la "scomposizione"... Parti da 12 facce e ne ottieni 13?

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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da Talete » 15 set 2016, 18:06

mr96 ha scritto:Mi pare che il testo dicesse che non puoi mettere 0 sulle facce, inoltre non ho capito la "scomposizione"... Parti da 12 facce e ne ottieni 13?
Eh ma ho traslato indietro di uno all'inizio per poi ritraslare in avanti di uno alla fine... quindi invece di vedere la coppia (0,1,1,2)x(0,2,2,4,4,4,6,6,8) va vista la coppia (1,2,2,3)x(1,3,3,5,5,5,7,7,9)... mi son spiegato male ma era il mio "aggiungiamo 1 ad entrambi i dadi in ogni coppia"

Io parto da sei facce e le scompongo in due dadi, uno da due e uno da tre ($2\cdot3=6$). Se i dadi da due e da tre sono ad esempio (0,1) e (0,2,4), e li tiro contemporaneamente sommando le cifre, allora è come se tirassi un dado da sei con (0,1,2,3,4,5), sei d'accordo?

Ora, il mio discorso è: ho due dadi da $6$ a cui devo sommare le cifre, li scompongo come $2\cdot3$ e $2\cdot3$, ricompongo $2\cdot2$ e $3\cdot3$ e ho trovato il dado da quattro e il dado da nove. Non devo sommare il numero di facce a questo punto (quindi non devo fare $4+9=13$) ma i numeri sulle facce, in $4\cdot9$ modi che è esattamente uguale al $6\cdot6$ di partenza.

Non so se mi spiego bene
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da mr96 » 15 set 2016, 18:15

Ok ora è più chiaro, scusami :)

Mi pare funzionare, e le coppie sono le stesse che trovo io, quindi direi che va bene. Rilancio con una cosa nota (dalla quale arriva l'idea della dimostrazione che ho postato io): se anziché avere un dado da 4 e uno da 9 ne avessi due da 6 da riempire in maniera diversa dai primi due? Posso farlo?

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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da Talete » 15 set 2016, 19:19

Scusami tu per l'aver scritto male ;)
Testo nascosto:
Mi collego alla dimostrazione di prima.

Il dado da sei traslato si scompone come (0,1)x(0,2,4) oppure (0,3)x(0,1,2) quindi se ne ho due e ne voglio due "diversi" l'unica possibilità è costruire un nuovo dado (0,3)x(0,2,4) ed un dado (0,1)x(0,1,2)

Mi arrivano i due dadi (0,1,1,2,2,3) e (0,2,3,4,5,7) che dunque ritlaslati diventano (1,2,2,3,3,4) e (1,3,4,5,6,8). Corretto?
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da mr96 » 15 set 2016, 21:51

Corretto! E in generale, quali altre sono le possibili "dimensioni" dei due dadi?

Talete
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Re: Problemi SNS 2016

Messaggio da Talete » 16 set 2016, 07:51

Cosí ad occhio direi dado da 2 e dado da 18 oppure dado da 3 e dado da 12... o forse anche dado da 1 e dado da 36... insomma il prodotto deve fare 36
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