Disuguaglianza n.9 TF 2015
Inviato: 16 mag 2016, 18:14
Ho provato a risolvere la disuguaglianza proposta nel test finale del senior dell'anno scorso dopo aver letto la dispensa sulla disuguaglianza di bunching. Questa disuguaglianza presenta (o almeno credo presenti) termini omogenei di grado zero ed è una somma ciclica che credo si possa rendere facilmente simmetrica dal momento che a secondo membro si ha $0$. Tuttavia ho alcuni problemi con l'ultimo passaggio. Riporto quindi ciò che ho fatto.
\[
\dfrac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)}+\dfrac{b-\sqrt{ca}}{b+2(c+a)}+\dfrac{c-\sqrt{ab}}{c+2(a+b)}\geq 0
\]
Ho fatto il minimo comune denominatore e poi riscritto tutto come
\[
\sum_{cyc}(a-\sqrt{bc})(b+2(c+a))(c+2(a+b))\geq 0
\]
essendo per ipotesi $a,b,c>0$, ho posto $a=x^{2}$, $b=y^{2}$, $c=z^{2}$ e ho moltiplicato per 2 in modo da ottenere una somma simmetrica (giusto?) nelle variabili $x,y,z$.
\[
\sum_{sym}(x^{2}-yz)(2x+y+2z)(2x+2y+z)\geq 0
\]
Svolgo quindi i calcoli ed ottengo
\[
\sum_{sym}4x^{6}+2x^{2}y^{4}+2x^{2}z^{4}+6x^{4}y^{2}+6x^{4}z^{2}+5x^{2}y^{2}z^{2}-4x^{4}yz-2y^{5}z-2yz^{5}-6x^{2}y^{3}z-6x^{2}yz^{3}-5y^{3}z^{3}\geq 0
\]
Quindi ponendo $S(a,b,c)=\sum_{sym}x^{a}y^{b}z^{c}$ ho
\[
4S(6,0,0)+16S(4,2,0)+5(2,2,2)\geq 4S(4,1,1)+4S(5,1,0)+12S(3,2,1)+5(3,3,0)
\]
Quest''ultima disuguaglianza non riesco a risolverla usando bunching e schur. Come potrei fare?
Inoltre avevo anche pensato di cambiare approccio: io so per per $AM\geq GM$ che $\sqrt{bc}\leq \dfrac{b+c}{2}$ e quindi che $a-\sqrt{bc}\geq a-\dfrac{b+c}{2}$ ma non riuscendo ad andare oltre avevo guardato la soluzione: si propone di dimostrare la disuguaglianza sostituendo $GM$ con $AM$. In questo caso non succede, ma non potrei aver che la disuguaglianza sia vera con $GM$ ma falsa per $AM$? In questo caso dovrei solo controllare il caso limite $AM=GM$ in cui $GM$ è perciò massima? Grazie per ogni aiuto, spero di essere stato abbastanza chiaro nelle mie domande.
\[
\dfrac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)}+\dfrac{b-\sqrt{ca}}{b+2(c+a)}+\dfrac{c-\sqrt{ab}}{c+2(a+b)}\geq 0
\]
Ho fatto il minimo comune denominatore e poi riscritto tutto come
\[
\sum_{cyc}(a-\sqrt{bc})(b+2(c+a))(c+2(a+b))\geq 0
\]
essendo per ipotesi $a,b,c>0$, ho posto $a=x^{2}$, $b=y^{2}$, $c=z^{2}$ e ho moltiplicato per 2 in modo da ottenere una somma simmetrica (giusto?) nelle variabili $x,y,z$.
\[
\sum_{sym}(x^{2}-yz)(2x+y+2z)(2x+2y+z)\geq 0
\]
Svolgo quindi i calcoli ed ottengo
\[
\sum_{sym}4x^{6}+2x^{2}y^{4}+2x^{2}z^{4}+6x^{4}y^{2}+6x^{4}z^{2}+5x^{2}y^{2}z^{2}-4x^{4}yz-2y^{5}z-2yz^{5}-6x^{2}y^{3}z-6x^{2}yz^{3}-5y^{3}z^{3}\geq 0
\]
Quindi ponendo $S(a,b,c)=\sum_{sym}x^{a}y^{b}z^{c}$ ho
\[
4S(6,0,0)+16S(4,2,0)+5(2,2,2)\geq 4S(4,1,1)+4S(5,1,0)+12S(3,2,1)+5(3,3,0)
\]
Quest''ultima disuguaglianza non riesco a risolverla usando bunching e schur. Come potrei fare?
Inoltre avevo anche pensato di cambiare approccio: io so per per $AM\geq GM$ che $\sqrt{bc}\leq \dfrac{b+c}{2}$ e quindi che $a-\sqrt{bc}\geq a-\dfrac{b+c}{2}$ ma non riuscendo ad andare oltre avevo guardato la soluzione: si propone di dimostrare la disuguaglianza sostituendo $GM$ con $AM$. In questo caso non succede, ma non potrei aver che la disuguaglianza sia vera con $GM$ ma falsa per $AM$? In questo caso dovrei solo controllare il caso limite $AM=GM$ in cui $GM$ è perciò massima? Grazie per ogni aiuto, spero di essere stato abbastanza chiaro nelle mie domande.