NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!
Sia $p$ un primo dispari. Consideriamo l'insieme
\[\mathcal S:=\{(x,y)\in\mathbb{N}^2 : \sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}>0\}.\]
Determinare
\[\min\{\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y} : (x,y)\in\mathcal S\}.\]
[Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
[Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: [Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Ultima modifica di AlexThirty il 31 dic 2015, 15:27, modificato 1 volta in totale.
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Re: [Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
Altre cose che portano più o meno alla stessa soluzione:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Re: [Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
Hint per un altra soluzione
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: [Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
Mi scuso per postare esplicitamente un “tentativo” di soluzione ma volevo sottoporlo per un riscontro sulla correttezza.
Anche per sostenere quanto detto da Talete .
Dim.
Iª Parte)
Sia $p\ge 3$ DISPARI $p=2k+1$ e WLOG $x\le y$.
$\begin{align}
& \left( x;y \right)\in S\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}<\sqrt{2p}\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow \\
& 4\sqrt{xy}\ \overset{AM-GM}{\mathop{\le }}\,x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow 4xy<{{p}^{2}}\Rightarrow xy<\frac{{{p}^{2}}}{4}=\frac{4{{k}^{2}}+4k+1}{4}={{k}^{2}}+k+\frac{1}{4} \\
& \Rightarrow xy\le {{\left( \frac{p-1}{2} \right)}^{2}}+\left( \frac{p-1}{2} \right)\Rightarrow xy\le \left( \frac{p-1}{2} \right)\cdot \left( \frac{p+1}{2} \right). \\
\end{align}$
La coppia $\left( x;y \right)=\left( \frac{p-1}{2};\frac{p+1}{2} \right)\in S$ quindi $\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$ è un candidato per minimo.
IIª Parte)
Claim: $\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$ È il minimo su S.
Dim.
(Per assurdo!) Sia $\left( x;y \right)\in S$ tale che $0<\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}<\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$.
Allora, essendo $p-1<\sqrt{{{p}^{2}}-1}$, si ha:
$\begin{align}
& \frac{p-1}{2}+\frac{p+1}{2}+\sqrt{{{p}^{2}}-1}<x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow 2p-1<p+\sqrt{{{p}^{2}}-1}<x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow \\
& 2p-1<x+y+2\sqrt{xy}<2p.\quad (*) \\
\end{align}$
Ma la relazione (*) è assurda, essendo $\left( x;y \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. (NON esisterebbero tali x,y!)
Anche per sostenere quanto detto da Talete .
Dim.
Iª Parte)
Sia $p\ge 3$ DISPARI $p=2k+1$ e WLOG $x\le y$.
$\begin{align}
& \left( x;y \right)\in S\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}<\sqrt{2p}\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow \\
& 4\sqrt{xy}\ \overset{AM-GM}{\mathop{\le }}\,x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow 4xy<{{p}^{2}}\Rightarrow xy<\frac{{{p}^{2}}}{4}=\frac{4{{k}^{2}}+4k+1}{4}={{k}^{2}}+k+\frac{1}{4} \\
& \Rightarrow xy\le {{\left( \frac{p-1}{2} \right)}^{2}}+\left( \frac{p-1}{2} \right)\Rightarrow xy\le \left( \frac{p-1}{2} \right)\cdot \left( \frac{p+1}{2} \right). \\
\end{align}$
La coppia $\left( x;y \right)=\left( \frac{p-1}{2};\frac{p+1}{2} \right)\in S$ quindi $\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$ è un candidato per minimo.
IIª Parte)
Claim: $\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$ È il minimo su S.
Dim.
(Per assurdo!) Sia $\left( x;y \right)\in S$ tale che $0<\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}<\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$.
Allora, essendo $p-1<\sqrt{{{p}^{2}}-1}$, si ha:
$\begin{align}
& \frac{p-1}{2}+\frac{p+1}{2}+\sqrt{{{p}^{2}}-1}<x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow 2p-1<p+\sqrt{{{p}^{2}}-1}<x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow \\
& 2p-1<x+y+2\sqrt{xy}<2p.\quad (*) \\
\end{align}$
Ma la relazione (*) è assurda, essendo $\left( x;y \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. (NON esisterebbero tali x,y!)
- karlosson_sul_tetto
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Re: [Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
(Non sono LucaMac ma prendo in prestito il suo diritto di rispondere)
Purtroppo questo non basta: $2\sqrt{xy}$ è (di solito) un numero irrazionale e quindi non intero; sommato a x e y, potrebbe diventare un qualsiasi irrazionale compreso tra $2p-1$ e $2p$.gpzes ha scritto:$
2p-1<x+y+2\sqrt{xy}<2p.\quad (*) $
Ma la relazione (*) è assurda, essendo $\left( x;y \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. (NON esisterebbero tali x,y!)
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
Re: [Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione
Grazie karlosson per pronta risposta ...
è vero..mi scuso per errore ...inizio bene Anno Nuovo
Vedo di modificare (cerco sempre soluzione "semplice" e che forse eviti primalità)
è vero..mi scuso per errore ...inizio bene Anno Nuovo
Vedo di modificare (cerco sempre soluzione "semplice" e che forse eviti primalità)