SNS 2015 - 3

[Drago96]

Un quadrato $n\times n$ contiene in ogni casella un numero reale nell'intervallo $[0,1]$.
Chiamiamo magico un quadrato in cui per ogni riga e per ogni colonna la somma degli elementi fa $1$.
Definiamo "media" di due quadrati un quadrato in cui ogni casella c'è la media aritmetica dei numeri presenti nelle caselle corrispondenti (se ad ogni quadrato associamo una matrice, la media di $A$ e $B$ è $C=\frac{A+B}2$)
Chiamiamo puro un quadrato che non può essere ottenuto come media di due quadrati distinti (ovvero che differiscono per almeno una casella).
Dimostrare che i quadrati magici puri sono tutti e soli quelli nelle cui caselle ci sono solo $0$ o $1$.

[RiccardoKelso]

Problema davvero immediato: un quadrato magico contenente solo 0 e 1 è per forza puro dato che se non lo fosse esisterebbe un quadrato magico con almeno una casella con numero fuori dall'intervallo imposto, inoltre uno che non contiene solo 0 e 1 non può essere puro in quanto per ottenerlo come media è sufficiente prendere due quadrati uguali eccetto che per una casella (la casella che non contiene ne 0 ne 1) e metterci dentro due numeri compresi tra 0 e 1 che abbiano come media il numero del quadrato che dobbiamo ottenere.

[Drago96]

E la somma di righe e colonne nei due nuovi quadrati va tranquillamente a farsi benedire...
Credo invece sia il problema più difficile dei sei, ed era nella shortlist di un po' di anni fa

[RiccardoKelso]

Notevole mancanza da parte mia! Spero di non averne combinate altre simili :'D

[RiccardoKelso]

E la somma di righe e colonne nei due nuovi quadrati va tranquillamente a farsi benedire...
Credo invece sia il problema più difficile dei sei, ed era nella shortlist di un po' di anni fa

Comunque ci riprovo. A questo punto bisogna fare una sorta di "distribuzione alternata" dal primo ai due quadrati da cui deriva. Considerato che ogni valore N tra 0 e 1 può essere ottenuto dalla media di N+(1-N)/2 e N-(1-N)/2 se N maggiore o uguale a 0,5 e se invece N minore di 0,5 dalla media di N+N/2 e N-N/2; è possibile che basti far sì che in ogni riga e in ogni colonna si alternino "addendo minore" e "addendo maggiore" dei due la cui media corrisponde al valore di ogni casella?

[cip999]

ed era nella shortlist di un po' di anni fa

Questo però è barare!

Comunque direi che va trovato qualcosa di "ciclico"...