Tecniche standard "meccaniche" non direi, in genere il lavoro è:
-stimare la costante
-tentare di dimostrare costante < (o >) espressione
-se si fallisce, mettere particolari valori nell'espressione per minimizzarla/massimizzarla
-repeat
Per esempio, se ho la nesbitt classica $ \sum_{cyc}\frac{a}{b+c} $ e voglio trovare due costanti, sopra e sotto.
Per esempio posso dire "provo a mettere a=b=c, allora l'espressione diventa uguale a $\frac{3}{2}$, allora la costante è $\leq \frac{3}{2} $. E se provo altre combinazioni? b=2a, c=3a? a=molto piccolo, b=1, c=molto grande? vedo che in tutti questi tentativi viene maggiore della prima costante, quindi mi convinco che è il minimo e cerco di dimostrarlo.
Un altro modo per trovare i casi estremi è analizzare le disuguaglianze che si vogliono usare. AM-GM ha uguaglianza quando tutti i termini sono uguali, Cauchy-Schwarz quando le due n-uple sono ottenibili l'una dall'altra moltiplicando tutti i numeri per una stessa costante, Schur quando due sono uguali e l'altro è 0, eccetera. Quindi se si mettono valori dei casi particolari di disuguaglianze famose (che ad occhio sembrano poter essere utilizzate nel problema), puoi trovare il caso di uguaglianza e quindi la costante minima (o massima).
Ora, per stimare Nesbitt dall'altro, facendo un po' di tentativi mi accorgo che se scelgo a molto grande, b e c molto piccoli, allora $ \frac{a}{b+c} $ può diventare grande a piacere, mentre gli altri termini, essendo positivi, contribuiscono soltanto ad accrescerlo. Quindi non c'è un upper bound per Nesbitt.
Per rispondere alle tue domande: si, dimostrare che una disuguaglianza vale per certi valori ma non tutti quelli che potresti scegliere non è una dimostrazione corretta. Tuttavia, se dimostri che quelli sono i tuoi casi particolari (o che se prendi un altra terna di numeri l'espressione sarà minore (o maggiore, nel verso giusto), di quella ottenuta con una tua terna "particolare" (per esempio se una disisuguaglianza è omogenea, puoi moltiplicare tutti i valori per una costante e mettere condizioni quasi a piacere).
Come vedi, per Nesbitt si è rivelata falsa: non ha stime da sopra.
E si, è molto utile provare i casi estremi (sapendo che sono estremi!)