Immaginiamo di avere una scala con $2015$ gradini numerati da $1$ a $2015$ dal più basso al più alto. Sui gradini della scala rimbalzano alcuni palloni, scendendo tutti alla velocità di un gradino al secondo e rimbalzando tutti su un gradino ogni volta nello stesso istante. I palloni che scendono dal gradino $1$ non verranno più considerati (sono fuori dalla scala). Ogni secondo al momento in cui i palloni rimbalzano un erogatore automatico getta un pallone sul gradino $2015$ (che prima era vuoto perché i palloni sono tutti scesi di un gradino dalla posizione precedente, quindi nessuno può trovarsi sul gradino più alto) e un giocatore toglie dalla scala un pallone a sua scelta (eventualmente anche quello appena aggiunto dall'erogatore automatico). All'inizio tutti i gradini contengono un pallone. Dimostriamo che comunque sia data una sequenza $a_1,a_2,\ldots$ che rispetta le ipotesi essa corrisponde ad una sequenza di mosse del giocatore, ovvero che il giocatore può effettuare mosse in modo tale che per ogni $i\in\mathbb{Z^+}$ il pallone che toglie dalla scala $i$ secondi dopo l'istante iniziale si trovava sul gradino $a_i$. Dimostriamolo per induzione su $i$. Per $i=1$ (passo base) basta notare che al secondo $1$ prima che il giocatore tolga il pallone a sua scelta ogni gradino contiene un pallone, perché i palloni che all'inizio erano in $2,3,\ldots,2015$ ora sono in $1,2,\ldots,2014$, e l'erogatore automatico ha aggiunto un pallone in $2015$. Quindi il gradino $a_1$ contiene un pallone (per ipotesi $1\leq a_1\leq2015$, in seguito nella dimostrazione daremo per scontato questo fatto) e il giocatore può togliere tale pallone dalla scala. Per il passo induttivo, supponiamo che il giocatore abbia fatto le prime $i-1$ mosse ($i\geq2$) in modo tale da togliere il pallone che si trovava sul gradino $a_r$ per ogni intero $r$ con $1\leq r<i$, e dimostriamo che al secondo $i$ si trova un pallone sul gradino $a_i$, così il giocatore può togliere tale pallone. Se $2015-a_i<i$, notiamo che al secondo $i-2015+a_i$ un pallone si trovava sul gradino $2015$ (perché ce l'ha messo l'erogatore automatico). Dal secondo $i-2015+a_i$ al secondo $i$ sono passati $i-\left(i-2015+a_i\right)=2015-a_i$ secondi. Pertanto il pallone che si trovava in $2015$ ora si trova in $2015-\left(2015-a_i\right)=a_i$, quindi il gradino $a_i$ contiene un pallone, come volevamo, a meno che tale pallone non sia stato tolto in precedenza dal giocatore. Se però al secondo $s$ con $i-2015+a_i\leq s<i$ il giocatore ha tolto il pallone, visto che in tale istante si trovava sul gradino $2015-\left(s-i+2015-a_i\right)=a_i+i-s$ e il giocatore in tutti i secondi $r<i$ ha tolto il pallone che si trovava in $a_r$, ponendo $r=s$ si ottiene che $a_s=a_i+i-s$, quindi $a_s+s=a_i+i$, il che contraddice la seconda ipotesi, quindi il pallone non era mai stato tolto e al secondo $i$ si trova proprio in $a_i$, come voluto. Se $a_i=2015$ questa dimostrazione non funziona, ma la presenza di un pallone in $2015$ ci è assicurata dall'erogatore automatico. Resta però il caso $2015-a_i\geq i$, ovvero $a_i+i\leq2015$. In questo caso osserviamo che all'istante iniziale c'era un pallone in $a_i+i$ (che è compreso tra $1$ e $2015$). Al secondo $i$ tale pallone si trova in $a_i+i-i=a_i$, quindi il giocatore può toglierlo, a meno che quel pallone non sia già stato tolto in precedenza dal giocatore. Come per il caso precedente, se al secondo $s<i$ il giocatore lo aveva tolto ne segue che $a_s=a_i+i-s$ (al secondo $s$ il pallone si trovava sul gradino $a_i+i-s$), quindi $a_s+s=a_i+i$, contro la seconda ipotesi. Quindi il pallone non era stato tolto, e questo conclude la dimostrazione del passo induttivo. Possiamo dunque affermare con certezza che comunque sia data una sequenza $a_1,a_2,\ldots$ che rispetta le ipotesi essa corrisponde ad una sequenza di mosse del giocatore, ovvero che il giocatore può effettuare mosse in modo tale che per ogni $i\in\mathbb{Z^+}$ il pallone che toglie dalla scala $i$ secondi dopo l'istante iniziale si trovava sul gradino $a_i$. Esaminiamo un gioco infinito che si svolga in questo modo (abbiamo dimostrato che esiste). Osserviamo che il numero $P$ di palloni sulla scala subito dopo la mossa del giocatore non può mai diminuire, perché ogni secondo si aggiunge uno e un solo pallone (dall'erogatore automatico) e se ne toglie almeno uno (sicuramente quello che toglie il giocatore, più eventualmente un pallone che cade dal gradino $1$. $P$ al secondo $1$ vale $2014$ (un pallone per gradino, meno quello tolto dal giocatore al secondo $1$). Ovviamente $P$ non può mai essere negativo. Visto che il gioco si protrae all'infinito e $P$ parte da $2014$, non aumenta mai e non scende mai sotto lo $0$, da un certo punto in poi deve assumere sempre lo stesso valore. Sia $c$ questo valore, per quanto abbiamo detto $0\leq c\leq2014$. Scegliamo $b=2015-c$ e definiamo $N$ come il primo istante di tempo (in secondi) in cui $P=c$. Per ogni scelta degli interi $m,n$ con $n>m\geq N$ dimostriamo quindi la tesi, ovvero che
$$\left\vert\sum_{j=m+1}^{n}{\left(a_j-b\right)}\right\vert\leq1007^2.$$
Per ogni $d\geq N$, sia $Q_d$ la somma delle posizioni dei $c$ palloni dopo $d$ secondi e dopo la mossa del giocatore. Dimostriamo, per induzione su $n$, che
$$\sum_{j=m+1}^{n}{\left(a_j-b\right)}=Q_m-Q_n.$$
Il passo base ($n=m$) è banale perché la sommatoria è vuota e vale $0$ e $Q_m-Q_n=Q_m-Q_m=0$. Per il passo induttivo supponiamo vera l'uguaglianza per un certo valore di $n$ e dimostriamola per $n+1$. Abbiamo:
$$\sum_{j=m+1}^{n+1}{\left(a_j-b\right)}=\sum_{j=m+1}^{n}{\left(a_j-b\right)}+a_{n+1}-b=Q_m-Q_n+a_{n+1}-2015+c=Q_m-Q_{n+1},$$
come voluto. La seconda uguaglianza si giustifica con i seguenti fatti: $\sum_{j=m+1}^{n}{\left(a_j-b\right)}=Q_m-Q_n$ per ipotesi induttiva, $b=2015-c$ per come l'abbiamo definito. La terza uguaglianza si giustifica con il fatto che $Q_{n+1}=Q_n-a_{n+1}+2015-c$ perché dal secondo $n$ al secondo $n+1$ i $c$ palloni scendono di un gradino, quindi la somma delle posizioni diminuisce di $c$, l'erogatore automatico aggiunge un pallone sul gradino $2015$, quindi la somma aumenta di $2015$, e il gocatore toglie il pallone sul gradino $a_{n-1}$, quindi la somma diminuisce di $a_{n-1}$. Nessun pallone cade dal gradino $1$ erché altrimenti il numero $P$ di palloni diminuirebbe, mentre invece resta costante. Da ciò che abbiamo dimostrato segue quindi che
$$\left\vert\sum_{j=m+1}^{n}{\left(a_j-b\right)}\right\vert=\left\vert Q_m-Q_n\right\vert.$$
La tesi si riduce quindi a $\left\vert Q_m-Q_n\right\vert\leq1007^2$. Senza perdita di generalità possiamo supporre $Q_m\geq Q_n$ (nell'altro caso la dimostrazione è analoga). La tesi si riduce allora a $Q_m-Q_n\leq1007^2$. Visto che ci può essere al massimo un pallone per ogni gradino, il valore di $Q_m$ non può superare $\sum_{i=1}^{c}{\left(2016-i\right)}$ e il valore di $Q_n$ non può essere minore di $\sum_{i=1}^{c}{\left(i+1\right)}$, dal momento che il gradino $1$ deve essere vuoto perché altrimenti il pallone cadrebbe dalla scala e $P$ diminuirebbe. Ne segue che:
$$Q_m-Q_n\leq\sum_{i=1}^{c}{\left(2016-i\right)}-\sum_{i=1}^{c}{\left(i+1\right)}=\sum_{i=1}^{c}{\left(2015-2i\right)}=2015c-2\sum_{i=1}^{c}{i}=2015c-c\left(c+1\right)=c\left(2014-c\right)\leq1007^2,$$
dove l'ultima disuguaglianza segue da $AM-GM$ su $\left(c,2014-c\right)$: si ha $\sqrt{c\left(2014-c\right)}\leq\frac{c+2014-c}{2}=\frac{2014}{2}=1007$, da cui $c\left(2014-c\right)\leq1007^2$. La tesi è dimostrata.