Albirz ha scritto:Sicuro che devo aggiugnere al secondo binomiale quel -2 e -1?
Uhm, no, hai ragione tu
Ok, per semplicità partendo dall'angolo in basso a sinistra, numero le righe e le colonne da 1 a 8; dobbiamo cercare i percorsi che passano per almeno una tra le caselle $(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)$.
Divido in vari casi, a seconda per quali caselle passi il percorso
1) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(4,3)$ alla casella $(4,4)$
2) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,3)$ alla casella $(5,4)$
3) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(3,4)$ alla casella $(4,4)$
4) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(3,5)$ alla casella $(4,5)$
...con i loro bellissimi sottocasi!
1a) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(4,5)$ alla casella $(4,6)$
1b) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(5,6)$
1c) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(6,5)$
1d) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,4)$ alla casella $(6,4)$
1e) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(5,6)$
1f) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(6,5)$
Se ripeto il procedimento per i casi 2), 3), 4) ottengo tutti i possibili percorsi che passano per il quadratino centrale, siccome ho determinato il punto in cui devono entrare e quello in cui devono uscire (con un solo possibile percorso interno), quindi: spegniamo il cervello e conti!
1a) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(4,5)$ alla casella $(4,6)$
$\binom{5}{2}\cdot\binom{6}{2}=150$
1b) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(5,6)$
$\binom{5}{2}\cdot\binom{5}{2}=100$
1c) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(6,5)$
$\binom{5}{2}\cdot\binom{5}{2}=100$
1d) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,4)$ alla casella $(6,4)$
$\binom{5}{2}\cdot\binom{6}{2}=150$
1e) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(5,6)$
$\binom{5}{2}\cdot\binom{5}{2}=100$
1f) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(6,5)$
$\binom{5}{2}\cdot\binom{5}{2}=100$
Totale=700
2a) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,4)$ alla casella $(6,4)$
$\binom{6}{2}\cdot\binom{6}{2}=225$
2b) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(6,5)$
$\binom{6}{2}\cdot\binom{5}{2}=150$
2c) Ad un certo punto del percorso si passa dalla casella $(5,5)$ alla casella $(5,6)$
$\binom{6}{2}\cdot\binom{5}{2}=150$
Totale=525
Ora, noto che i casi di 3) sono gli stessi di 1) e i casi di 4) sono gli stessi di 2) (basta fare la simmetria rispetto alla diagonale, non è che mi scocciavo di scrivere altri 9 casi
) quindi il numero di percorsi è $2\cdot (700+525)=2450$ e il complementare cercato è $3432-2450=982$.
Personalmente, ho inizialmente fatto il problema nell'altro modo, ovvero contando i percorsi che non passavano per i quattro quadratini centrali. Ci sono due casi (simmetrici e con lo stesso numero di percorsi): o passo il quadratino da sopra a sinistra, oppure da sotto a destra; analizzo il primo.
Devo quindi necessariamente passare per il quadrato $3\times 3$ delimitato dalle caselle $(1,6),(1,8),(3,8),(3,6)$.
Una cosa bella da notare è che date le tre caselle $(1,8), (2,7), (3,6)$, devo passare per una e soltanto una di queste.
Il numero di percorsi per $(1,8)$ è $\binom{7}{0}\cdot \binom{7}{0}=1$.
Il numero di percorsi per $(2,7)$ è $\binom{7}{1}\cdot \binom{7}{1}=49$.
Il numero di percorsi per $(3,6)$ è $\binom{7}{2}\cdot \binom{7}{2}=441$
Il numero totale cercato è $2\cdot(1+49+441)=982$ e con grande gioia notiamo che è lo stesso di sopra
