L'errore c'è, e sta nel fatto che l'uguaglianza
di polinomi su $\mathbb{Z}_p[x]$ non è la stessa cosa che l'uguaglianza
dei valori che assumono. Il motivo di questo è semplice: il principio d'identità dei polinomi ti dice che due polinomi sono uguali se assumono lo stesso valore in un numero di punti superiore al più grande dei gradi. In particolare, se stiamo parlando di polinomi a coefficienti reali, e se sappiamo che assumono lo stesso valore (per esempio) in tutti gli interi, allora assumono lo stesso valore in
infiniti punti, quindi in particolare in più punti del loro grado, e quindi sono uguali. Ma questo non è più vero modulo $p$: se due polinomi assumono lo stesso valore in ogni punto, beh, assumono lo stesso valore in $p$ punti! E se il loro grado è più grande di $p$, questo non ti dice (quasi) niente... in effetti, un modo alternativo di enunciare il piccolo teorema di Fermat è che i polinomi $x^p-x$ e $0$ assumono lo stesso valore in ogni punto (ma non sono nemmeno lontanamente lo stesso polinomio! Per definizione, essere lo stesso polinomio vuol dire avere gli stessi coefficienti).
Tanto per dirne una, consideriamo il polinomio $x^5-1$. Siamo tutti d'accordo che è riducibile (ha una radice...), ma secondo il tuo ragionamento guardandolo modulo $5$ deduciamo $x^5-1 \equiv x-1$, il quale è chiaramente irriducibile
. Quindi no, purtroppo non funziona. Detto questo, il polinomio in questione
è irriducibile su $\mathbb{Z}$, e il modo più semplice di dimostrarlo mi sembra essere considerare
Giusto per cultura generale, e se non ho sbagliato niente, $x^{105}-9$ è anche irriducibile modulo 211 (che è primo), ma è riducibile modulo tutti i primi minori di 211. Il perché di questo fatto però non è assolutamente ovvio (probabilmente andrebbe in MNE).
p.s. Per inciso: $\mathbb{Z}_p$ è una notazione pessima. Molto meglio scrivere $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ oppure $\mathbb{F}_p$: quando sarete grandi ringrazierete!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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