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Mostrare che dato un qualsiasi primo $p$, esistono degli interi $x,y,z,w$ che soddisfano
$$x^2+y^2+z^2-wp=0$$ e $0<w<p$

Supponiamo di avere già $x,y,z$ tali che
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Allora, poiché $x^2\equiv (p-x)^2\pmod p$
Possiamo sempre scegliere
$x,y,z\le \frac {p-1} 2$
Quindi $x^2+y^2+z^2<p^2$

Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi tali che siano entrambi residui quadratici modulo $p$
Allora scegliamo $x^2\equiv a\pmod p$
$y^2\equiv -a\pmod p$
$z=0$
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Se non esistono $a$ e $-a$ con quelle caratteristiche significa che i non residui sono tutti e soli gli opposti dei residui
Ora, noi cerchiamo dunque $2$ residui la cui somma non sia residuo
Ma se non esistessero significherebbe che la somma di $2$ residui é sempre un residuo
Ma $1$ é residuo
Quindi lo sarebbero $1+1=2,2+1=3,\ldots ,p-2+1=p-1$ assurdo
Quindi devono esistere $x,y,z$ tali che $x^2+y^2\equiv -z^2\pmod p$
Segue la tesi

aetwaf ha scritto: Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi

Come fanno ad essere entrambi positivi?

Forse intendeva \(a, p-a\) ..?

Mi pare giusta Un altro modo poteva essere quello di prendere $x\equiv 1$ e poi ragionare su $y,z$ e notare dopo 1-2 passaggi che per il principio dei cassetti sicuramente esiste coppia di residui quadratici la cui somma è quella desiderata.

Sí intendevo $a$ e $-a$ modulo $p$ cioé $a$ e $p-a$
Scusate l'imprecisione

Ho provato in vari modi col pigeonhole ma non ne uscivo in fretta quindi ho optato per un'altra soluzione