Integrale su moto di caduta con resistenza del mezzo
Inviato: 13 lug 2014, 17:47
Stavo studiando sull' Halliday (capitolo 4.4) in cui si discute della resistenza del mezzo e del moto dei proiettili.
Si dice che naturalmente il mezzo offre una resistenza pari a $ D=bv $ in quanto è essa direttamente proporzionale alla velocità.
Si dice poi che $ mg-bv_{y}=ma_{y} $ da cui si ricava facilmente $ a_{y}=g-\frac{mv_{y}}{m} $
Poi dato che $ a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt} $ si ha:
$ \frac{dv_{y}}{g-\frac{bv_{y}}{m}}=dt $
Al passaggio successivo svolge l' integrale e dice che:
$ t=-\frac{m}{b}ln{\frac{mg-bv_{y}}{mg}} $
Non riesco a capire da dove sbuca quel $ g $ al denominatore. A me infatti integrando verrebbe:
$ t=-\frac{m}{b}ln{\frac{mg-bv_{y}}{m}} $ Il primo problema è questo..qualcuno potrebbe farmi capire cosa mi sto scordando?
Naturalmente di qui si giunge facilmente alla soluzione:
$ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $
Si richiede poi in un problema (problema n°17 cap 4) di calcolare l' accellerazione in funzione del tempo e lo spazio di caduta in funzione del tempo. Per il primo punto basta semplicemente sostituire a $ a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt} $ il valore trovato per $ v_{y} $ ovvero $ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $ da cui si trova che:
$ a_{y}=ge^{\frac{-bt}{m}} $ e fin qui tutto ok.
Mi è sorta un pò di difficoltà invece per quanto riguarda il punto due ovvero calcolare lo spazio di caduta in funzione del tempo.
Qui ho svolto in questo modo:
Si sa che $ v_{y}=\frac{dx}{dt} $ e quindi sostituendo a $ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $ si ottiene:
$ dx=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}})dt $
Da qui ho svolto l' integrale e ho ottenuto:
$ x=\frac{mg}{b}(t+\frac{m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}) $ mentre la soluzione dovrebbe essere $ x=\frac{mg}{b}(t+\frac{m}{b}(e^{\frac{-bt}{m}}-1)) $
Ancora una volta mi sono scordato qualcosa..Qualcuno può darmi qualche dritta? Grazie mille
Si dice che naturalmente il mezzo offre una resistenza pari a $ D=bv $ in quanto è essa direttamente proporzionale alla velocità.
Si dice poi che $ mg-bv_{y}=ma_{y} $ da cui si ricava facilmente $ a_{y}=g-\frac{mv_{y}}{m} $
Poi dato che $ a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt} $ si ha:
$ \frac{dv_{y}}{g-\frac{bv_{y}}{m}}=dt $
Al passaggio successivo svolge l' integrale e dice che:
$ t=-\frac{m}{b}ln{\frac{mg-bv_{y}}{mg}} $
Non riesco a capire da dove sbuca quel $ g $ al denominatore. A me infatti integrando verrebbe:
$ t=-\frac{m}{b}ln{\frac{mg-bv_{y}}{m}} $ Il primo problema è questo..qualcuno potrebbe farmi capire cosa mi sto scordando?
Naturalmente di qui si giunge facilmente alla soluzione:
$ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $
Si richiede poi in un problema (problema n°17 cap 4) di calcolare l' accellerazione in funzione del tempo e lo spazio di caduta in funzione del tempo. Per il primo punto basta semplicemente sostituire a $ a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt} $ il valore trovato per $ v_{y} $ ovvero $ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $ da cui si trova che:
$ a_{y}=ge^{\frac{-bt}{m}} $ e fin qui tutto ok.
Mi è sorta un pò di difficoltà invece per quanto riguarda il punto due ovvero calcolare lo spazio di caduta in funzione del tempo.
Qui ho svolto in questo modo:
Si sa che $ v_{y}=\frac{dx}{dt} $ e quindi sostituendo a $ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $ si ottiene:
$ dx=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}})dt $
Da qui ho svolto l' integrale e ho ottenuto:
$ x=\frac{mg}{b}(t+\frac{m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}) $ mentre la soluzione dovrebbe essere $ x=\frac{mg}{b}(t+\frac{m}{b}(e^{\frac{-bt}{m}}-1)) $
Ancora una volta mi sono scordato qualcosa..Qualcuno può darmi qualche dritta? Grazie mille