Tutto il contrario turuturu tutto divide tutto

[Gottinger95]

(semplice semplice) Dati \(p,q\) primi e \(t\) naturale, dimostrare che se un \(r\) primo è tale che
\[ r \mid \frac{t^{pq}-1}{t^q-1}\]
allora o \(r \mid t^p-1 \) o \(pq \mid r-1\).
EDIT: \(p,q,r\) distinti!
EDIT dell'EDIT : Oppure anche non distinti ma come risultato può anche essere \(r=p\) oppure \(r=q\).

[Triarii]

Uhm, probabilmente avrò sbagliato ad interpretare il testo, però

Testo nascosto:

se ad esempio prendi $q=2$, $p=r=3$ ottieni
$\dfrac {5^{3\cdot 2}-1} {5^2-1}=651$ che è una quantità multipla di $3$, ma $3\nmid 5^3 -1$ e $2\cdot 3\nmid 2$

[Gottinger95]

Scusa, ho editato!

[Drago96]

Non so se si fa anche in altro modo, ma io ho usato una proprietà molto interessante dei ciclotomici...

[Gottinger95]

Io l'ho fatto solo con metodi elementari! Però mi pare si potesse fare anche con il lemma di Von Chausen o con il teorema di Van Kampen, ma sinceramente non ho provato..

[aetwaf]

Sia $k=ord_r(t)$
Essendo, per il Piccolo Teorema Di Fermat, $t^{r-1}\equiv 1\pmod r$
Avremo $k\mid r-1$
Se vale la tesi avremo $t^{pq}\equiv 1\pmod r$
Ma allora deve essere $k\mid pq$
Da cui i casi
$k=p$
$k=q$
$k=1$
$k=pq$

Nel primo caso e nel terzo vale $r\mid t^p-1$
Dal quarto caso otteniamo $pq\mid r-1$
Dal secondo caso abbiamo $v_r(t^{pq}-1)=v_r(t^q-1)+v_r(p)>v_r(t^q-1)$
Da cui $r\mid p$
Da cui $r=p$