Successioni e mooltinomiali
Inviato: 04 mar 2014, 23:50
Own (tanto quanto inutile). Data una successione \( (X_n) \) definita come
\[ X_{n} = \sum_{i=1}^m {\alpha_i X_{n-i} }\]
con valori iniziali \(X_1, \ldots, X_m \) dimostrare, a meno di mie sviste, che si può esprimere \(X_n\) in termini dei valori iniziali e di multinomiali della forma \(n\) su *qualcosa* in questo modo:
\[ X_n = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=i+1}^m {X_{m-i} \alpha_j S(n-j) } \]
dove
\[ S(a) = \sum_{y_1+ \ldots + my_m = a }{ \binom{a}{y_1\ \ldots \ y_m} \alpha_1^{y_1} \cdot \ldots\cdot \alpha_m^{y_m} } \]
Domanda un po' ingenua: secondo voi, può in qualche modo aiutare a trovare le radici del polinomio \( x^m -\alpha_1x^{m-1} +\ldots - \alpha_m=0\), considerando che
\[ X_n = \sum_{i=1}^m{ c_i z_i^n} \]
dove \(z_i\) sono le radici del polinomio e \(c_i\) coefficienti per soddisfare le condizioni iniziali?
\[ X_{n} = \sum_{i=1}^m {\alpha_i X_{n-i} }\]
con valori iniziali \(X_1, \ldots, X_m \) dimostrare, a meno di mie sviste, che si può esprimere \(X_n\) in termini dei valori iniziali e di multinomiali della forma \(n\) su *qualcosa* in questo modo:
\[ X_n = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=i+1}^m {X_{m-i} \alpha_j S(n-j) } \]
dove
\[ S(a) = \sum_{y_1+ \ldots + my_m = a }{ \binom{a}{y_1\ \ldots \ y_m} \alpha_1^{y_1} \cdot \ldots\cdot \alpha_m^{y_m} } \]
Domanda un po' ingenua: secondo voi, può in qualche modo aiutare a trovare le radici del polinomio \( x^m -\alpha_1x^{m-1} +\ldots - \alpha_m=0\), considerando che
\[ X_n = \sum_{i=1}^m{ c_i z_i^n} \]
dove \(z_i\) sono le radici del polinomio e \(c_i\) coefficienti per soddisfare le condizioni iniziali?