Salve a tutti,
ho provato a trovare la formula per la superficie della sfera usando gli integrali. Il metodo che ho usato però non funziona e non riesco a capire dove sbaglio. Potete aiutarmi?
Integrale superficie sfera
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La mente è come un paracadute...funziona solo se si apre!!!
ALBERT EINSTEIN
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Re: Integrale superficie sfera
Scusate se resuscito un post vecchissimo ma un'annetto fa avevo provato a farlo anche io. Io sono ignorante quindi $ \int_{0}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx $ non mi ricordo quanto faccia però con il metodo che hai usato puoi facilmente trovare il volume della sfera e poi la superficie derivando la formula ottenuta.
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Re: Integrale superficie sfera
@luca95:
$ \int_0^R{\sqrt{r^2-x^2}}dx=\pi\,r^2/4 $; si fa per sostituzione ponendo $ r\sin t=x $.
@mate!!!
Il calcolo della superficie della sfera è sbagliato fin dall'impostazione. Una superficie di rotazione si calcola in questo modo:
$ 2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx} $
$ \int_0^R{\sqrt{r^2-x^2}}dx=\pi\,r^2/4 $; si fa per sostituzione ponendo $ r\sin t=x $.
@mate!!!
Il calcolo della superficie della sfera è sbagliato fin dall'impostazione. Una superficie di rotazione si calcola in questo modo:
$ 2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx} $
Ultima modifica di Kopernik il 17 apr 2015, 16:43, modificato 1 volta in totale.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
Re: Integrale superficie sfera
Ma perché per il volume il metodo torna mentre per la superficie no
? Cioè a me pare abbia senso pensare che la superficie sia data dalla somma di tutte le circonferenze al variare di $ \sqrt{R^2-x^2} $...
Comunque Wolfram Alpha mi dice che $ \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{4} $ quindi il calcolo di mate!!! era giusto.
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Comunque Wolfram Alpha mi dice che $ \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{4} $ quindi il calcolo di mate!!! era giusto.
Re: Integrale superficie sfera
1) Sì, avevo dimenticato i fattore 1/4
; ho corretto prontamente.
2) No, pensa bene a quello che c'è scritto: $ \int_0^R{\sqrt{r^2-x^2}}dx $ ovviamente è un'area (l'area di un quarto di cerchio di raggio R); aggiungere un fattore 4$ \pi $ significa solamente prendere quell'area e moltiplicarla. E' giusto che faccia $ \pi^2R^2 $, ma naturalmente non è la superficie della sfera.
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2) No, pensa bene a quello che c'è scritto: $ \int_0^R{\sqrt{r^2-x^2}}dx $ ovviamente è un'area (l'area di un quarto di cerchio di raggio R); aggiungere un fattore 4$ \pi $ significa solamente prendere quell'area e moltiplicarla. E' giusto che faccia $ \pi^2R^2 $, ma naturalmente non è la superficie della sfera.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
Re: Integrale superficie sfera
Aggiungo (anche se la nota spetterebbe a un amministratore e non a me) che l'argomento di cui stiamo parlando non va in matematica ricreativa bensì in matematica non elementare.
Obbedisco. ma_go
Obbedisco. ma_go
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
Re: Integrale superficie sfera
Riapro questo post vecchissimo perché ci sono capitato sopra dopo anni, in cerca di una soluzione allo stesso problema.
L'intuizione di @mate!!! era buona, ma lui (come me) tentava di integrare una figura 2d che per definizione non ha altezza, mentre si dovrebbe inegrare dei cilindri, con h (altezza) tendente a zero.
Approssimando:
$ dh = R d\theta $
diventa
$ ds = 2 \pi \sqrt{r^2-x^2}R d\theta $
Basta notare che
$ \sqrt{r^2-x^2} = R sin(\theta) $
che diventa un semplice integrale su $ \theta $:
$ ds = 2 \pi R sin(\theta) R d\theta $
sull'intervallo 0-pi greco mezzi (in radianti) per la mezza sfera.
Vorrei dire che è tutta farina del mio sacco, ma l'idea della figura 2d senza altezza è di un anonimo utente internet.
L'intuizione di @mate!!! era buona, ma lui (come me) tentava di integrare una figura 2d che per definizione non ha altezza, mentre si dovrebbe inegrare dei cilindri, con h (altezza) tendente a zero.
Approssimando:
$ dh = R d\theta $
diventa
$ ds = 2 \pi \sqrt{r^2-x^2}R d\theta $
Basta notare che
$ \sqrt{r^2-x^2} = R sin(\theta) $
che diventa un semplice integrale su $ \theta $:
$ ds = 2 \pi R sin(\theta) R d\theta $
sull'intervallo 0-pi greco mezzi (in radianti) per la mezza sfera.
Vorrei dire che è tutta farina del mio sacco, ma l'idea della figura 2d senza altezza è di un anonimo utente internet.