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168. Dalla fredda Russia
Inviato: 28 dic 2013, 14:45
da Sir Yussen
Siano $a,b,c$ interi non negativi distinti tra loro. Dimostrare che:
$$ (ab+1,bc+1,ac+1) \leq \displaystyle\frac{a+b+c}{3} $$
Re: 168. Dalla fredda Russia
Inviato: 28 dic 2013, 15:37
da Triarii
Non ne sono sicuro, ma ci provo lo stesso...
Poichè a, b, c sono distinti, wlog $a>b>c$
Sia $d=(ab+1, bc+1, ac+1)$. Valgono le seguenti relazioni di congruenza
$\displaystyle \\ ab\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ bc\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ ac\equiv -1 (d)$
da cui $a\equiv b \equiv c (d)$. (lecito dividere perchè tanto $a, b, c$ sono coprimi con $d$)
Quindi $b=c+nd$ e $a=b+md=c+(m+n)d$ per qualche $m, n$ intero positivo (altrimenti se uno di essi fosse nullo l'ipotesi di $a\ne b\ne c$).
Dunque riscriviamo $\frac {a+b+c} {3}$ come $\frac {3c+(m+2n)d} {3} = c+\frac {(m+2n)d} {3}$
La quantità $(m+2n)d$ tuttavia è maggiore o uguale a 3d, in quanto $m, n$ valgono almeno $1$. Quindi otteniamo $\frac {a+b+c} {3} =c+d\frac {m+2n} {3} \ge c+d\ge d$ che è la tesi.
Il segno di uguale vale se $a=2, b=1, c=0$ (ossia $d=1$, $m=n=1$)
Re: 168. Dalla fredda Russia
Inviato: 28 dic 2013, 15:47
da Dandav
Edit: Non avevo visto il post di Triarii
Re: 168. Dalla fredda Russia
Inviato: 28 dic 2013, 15:54
da Sir Yussen
Bene triarii, a te la parola.
P.S. Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac ) in modo da non farle venire minuscole!
Re: 168. Dalla fredda Russia
Inviato: 28 dic 2013, 16:04
da Triarii
Ecco come fate tutti a non far venire le frazioni minuscole
Grazie del consiglio
Fai conto che prima quando la frazione veniva troppo piccola cambiavo la grandezza del testo, col problema che poi la frazione era di dimensioni normali, mentre il resto era abnorme
Re: 168. Dalla fredda Russia
Inviato: 07 gen 2014, 19:06
da Xamog
Sir Yussen ha scritto:Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac )
E per i pigri basta un \dfrac ...