E data una "scacchiera infnita", le cui righe e le cui colonne sono numerate con i numeri positivi. In ogni casella della scacchiera si può
collocare al più un gettone (si hanno a disposizione infiniti gettoni).
Sono date due successioni $a_1,a_2,...$ e $b_1, b_2,...$ di numeri interi positivi. Dimostrare che si possono disporre i gettoni sulla scacchiera in
modo che vi siano $a_1$ gettoni sulla prima riga, $a_2$ gettoni sulla seconda riga, ... , $b_1$ gettoni sulla prima colonna, $b_2$ gettoni sulla seconda
colonna...
From Cesenatico 1993
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NicolasRossi
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From Cesenatico 1993
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Re: From Cesenatico 1993
Definiamo una casella $ (i,j) $ libera se aggiungendo una pedina in questa casella, $ b_j $ è minore o uguale del numero di pedine presenti dopo l'aggiunta nella colonna.
Basta fare così: nella prima riga riempiamo le prime $ a_1 $ caselle (tanto ogni $ b_i\ge 1 $). Nella seconda riga riempiamo le prime $ a_2 $ caselle libere, e così via. Si noti che con questo procedimento una colonna verrà sempre riempita: infatti $ b_i $ è una quantità finita, pertanto sarà sempre possibile riempire la colonna in un numero finito di mosse. Poichè $ |A|=|B|=\aleph _0 $(con $ A $ e $ B $ l'insieme rispettivamente degli $ a_i $ e $ b_i $) è possibile riempire tutta l'infinità delle colonne in un numero infinito di step.
Basta fare così: nella prima riga riempiamo le prime $ a_1 $ caselle (tanto ogni $ b_i\ge 1 $). Nella seconda riga riempiamo le prime $ a_2 $ caselle libere, e così via. Si noti che con questo procedimento una colonna verrà sempre riempita: infatti $ b_i $ è una quantità finita, pertanto sarà sempre possibile riempire la colonna in un numero finito di mosse. Poichè $ |A|=|B|=\aleph _0 $(con $ A $ e $ B $ l'insieme rispettivamente degli $ a_i $ e $ b_i $) è possibile riempire tutta l'infinità delle colonne in un numero infinito di step.
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