OliForum Matematico

Determinare per quali $ n $ interi, $ n^2+35n-99 $ è multiplo di 15.

So che è piuttosto semplice, ma è il primo problema che invento

Ne vanno bene circa $4/15$

Yes!

Io direi. . 3 mod 15, 7 mod 15, 12 mod 15 e 13 mod 15

Non avevo dubbi che avresti risposto

Quando invece p(x) è un quadrato perfetto?

$ n=388 $ oppure $ n=-423 $

LeZ ha scritto:Quando invece p(x) è un quadrato perfetto?

Mai perchè stiamo considerando $p(n)$

Infatti hai ragione. Dopo che ho scritto quel post volevo cambiare il testo ma mi scocciaca allora ho pensato che comunque era comprensibile e speravo che la gente come te non intervenisse con pignolerie ahaha

Lamanna, sempre a fare il precisino

Un topic popolato quasi esclusivamente da copernicani? Meno male che è intervenuto anche Jordan.

Popolato quasi esclusivamente da copernicani e privo totalmente di dimostrazioni...

Bene, invito i copernicani ad accogliere il rimprovero di EvaristeG: dimostrare!

Bene, allora concludiamo.
Parte $ 1 $.
Analizziamo modulo $ 3 $ il polinomio.
$ 1 $. Se $ n\equiv 1\pmod 3 $ allora $ 3\mid p(n) $.
$ 2 $. Se $ n\equiv 2\pmod 3 $ allora $ 3\nmid p(n) $.
$ 3 $. Se $ n\equiv 0\pmod 3 $ allora $ 3\mid p(n) $.
Analizziamo modulo $ 5 $ il polinomio.
$ n^2+35n-99\equiv n^2+1 \pmod 5 $. Quali sono i residui quadratici modulo $ 5 $ che vanno bene? $ n\equiv 2\pmod 5 $ e $ n\equiv 3\pmod 5 $ come si può vedere facilmente.
Chiaramente questo esercizio si può fare in moltissimi modi, anche facendo subito modulo $ 15 $, più che altro spero sia istruttivo per i nuovi membri.
Ora quindi senza impostare sistemi, prendiamo i numeri fino a $ 15 $. Consideriamo solo quelli che divisi per $ 5 $ danno resto $ 2 $ o $ 3 $. Quindi $ 2,3,7,8,12,13 $.
Quali tra questi divisi per $ 3 $ danno resto $ 2 $? $ 2 $ e $ 8 $. Quindi vanno bene solo tutti i numeri della forma $ 15k+3,+7,+12,+13 $.

Parte $ 2 $.
Per quali valori di $ n $, $ p(n) $ è un quadrato perfetto? Quindi $ n^2+35n-99=y^2 $.
Se studiamo il delta dell'equazione si secondo grado in $ n $, abbiamo $ \Delta=1225+99\cdot4=1621+4y^2 $.
Il delta deve essere un quadrato perfetto per fornire soluzioni intere. Quindi $ 1621+4y^2=z^2 $. Ovvero $ (z-2y)(z+2y)=1621 $.
$ 1621 $ è primo quindi o $ (z-2y)=\pm1 $ e $ (z+2y)=\pm1621 $ o $ (z-2y)=\pm1621 $ e $ (z+2y)=\pm1 $.
Le coppie $ (z,y) $ sono $ (811,405), (811,-405), (-811,405), (-811,-405) $.
Se le sostituiamo nell'equazione risolvente, abbiamo $ n=\frac{-35\pm{811}}{2} $, quindi $ n=388 $ o $ n=-423 $. Da cui le coppie $ (n,y) (388,\pm405), (-423,\pm405) $. CVD.

esattamente!
Analizzando subito con modulo 15 invece si ottiene
$ n^2+35n-99\equiv n^2+5n+6 \ \ (mod \ 15) $
quindi noi vogliamo che
$ (n+2)(n+3)\equiv 0 \ \ (mod\ 15) $

abbiamo 4 possibilità:
1) $ n+2\equiv 0\ \ (mod \ 15) $

2) $ n+3\equiv 0\ \ (mod \ 15) $

3) $ n+2\equiv 0\ \ (mod \ 3) $ $ \wedge $ $ n+3\equiv 0\ \ (mod \ 5) $

4) $ n+2\equiv 0\ \ (mod \ 5) $ $ \wedge $ $ n+3\equiv 0\ \ (mod \ 3) $

che hanno come soluzioni quelle riportate da LeZ