proprieta che vale per infiniti numeri
proprieta che vale per infiniti numeri
Per ogni intero $ n>1 $ ,sia $ P\left(n\right) $ denotare il piú grande divisore primo di n.Mostrare che esistono infiniti postivi interi n tale che: \[ P\left(n\right)<P\left(n+1\right)<P\left(n+2\right). \]
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
prendiamo $ (n;n+1;n+2) $ come numeri della forma $ [(2*2^k) ;( 3*v );( 2*(2^{k}+1) )] $ dove $ k=2m $ per ogni $ m $ naturale (0 escluso , quindi sicuramente $ 2^k +1 $ è diverso da $ 2 $)
allora , $ p(n)=2 $
sicuramente$ p(n+1)>p(n) $ poichè $ v $ è dispari
e sicuramente $ p(n+2)>p(n) $
ora , il divisore primo piu' grande di $ 2*(2^{k}+1) $ è sicuramente diverso da 2 o da 3 , poichè se prendiamo $ 2^k+1 $ esso di certo non ha 3 e/o 2 come divisore...... quindi $ p(n+2)>=5 $.. e in ogni caso $ p(n+2) $ è della forma $ 6m+-1 $ per ogni $ m $ naturale e quasi tutti i primi sono di questa forma.
chiamando$ 2^k+1=r $
abbiamo sicuramente che $ r>v $
e che $ p(n+1)>=3 $.......
ora da qua ho un inceppo , ma penso di aver quasi concluso , mi manca solo da dimostrare che $ p(n+2)>p(n+1) $
allora , $ p(n)=2 $
sicuramente$ p(n+1)>p(n) $ poichè $ v $ è dispari
e sicuramente $ p(n+2)>p(n) $
ora , il divisore primo piu' grande di $ 2*(2^{k}+1) $ è sicuramente diverso da 2 o da 3 , poichè se prendiamo $ 2^k+1 $ esso di certo non ha 3 e/o 2 come divisore...... quindi $ p(n+2)>=5 $.. e in ogni caso $ p(n+2) $ è della forma $ 6m+-1 $ per ogni $ m $ naturale e quasi tutti i primi sono di questa forma.
chiamando$ 2^k+1=r $
abbiamo sicuramente che $ r>v $
e che $ p(n+1)>=3 $.......
ora da qua ho un inceppo , ma penso di aver quasi concluso , mi manca solo da dimostrare che $ p(n+2)>p(n+1) $
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
@nic.h.97
Se prendi $k=6$, sono rispettate tutte le tue ipotesi, ma
$p(129)=43$, e $p(130)=13$
Se prendi $k=6$, sono rispettate tutte le tue ipotesi, ma
$p(129)=43$, e $p(130)=13$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
E' apparsa piu' volte sul forum, qui un po' di problemi collegati. Una domanda potrebbe essere: chi riesce a trovare una classe F non banale di funzioni aritmetiche tali che f(n)<f(n+1)<f(n+2) per infiniti valori di n, una volta fissata f in F?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
"Una classe di funzioni" è troppo generico: la proprietà vale per le funzioni nel post che hai linkato, per $\mu$, per il simbolo di Legendre, ma non può valere banalmente per altre funzioni aritmetiche famose come $\pi$ o $\lambda$. Bisognerebbe trovare una specificazione precisa della/e proprietà che le funzioni della famiglia $\mathcal F$ dovrebbero avere in comune...jordan ha scritto:E' apparsa piu' volte sul forum, qui un po' di problemi collegati. Una domanda potrebbe essere: chi riesce a trovare una classe F non banale di funzioni aritmetiche tali che f(n)<f(n+1)<f(n+2) per infiniti valori di n, una volta fissata f in F?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
Oltre al fatto che il difficile è trovare una proprietà comune alle funzioni di $\mathcal F$, una classe di funzioni aritmetiche che funziona è $f(n)=n+k$ per $k \in \mathbb Z$, che, anche se è intuitivamente banale, non abbiamo motivo di discriminare facendo i razzisti delle funzioni. Penso che l'unico lavoro di interesse sia dimostrare questa proprietà per casi particolari (ovvero funzioni aritmetiche famose). Non penso sia neanche banale il definire "non banale"
P.S. e $\mathcal F=\left \{ \sigma_k \right \} _{k \in \mathbb N}$?
P.S. e $\mathcal F=\left \{ \sigma_k \right \} _{k \in \mathbb N}$?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
Sì, sapevo qualcuno mi avrebbe risposto così, e con tutte le ragioni..<enigma> ha scritto:Non penso sia neanche banale il definire "non banale"
Scommetto di sìP.S. e $\mathcal F=\left \{ \sigma_k \right \} _{k \in \mathbb N}$?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
La mia idea era di mostrare che per ogni $k$ intero positivo esistono due costanti $A_k, B_k$ positive tali che:
\[ A_kn^{2k} \le \varphi^k(n) \sigma_k(n) \le B_kn^{2k} \]
Fatto sta che $B_k=1$ funziona per ogni $k$, ma $A_k$ tende a $0$ per ogni $k\ge 2$ fissato, dato che per qualche costante $C\ge k$ abbiamo
\[ \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^k\left(1+\frac{1}{p^k}\right)\le \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{C}{p}\right) \le \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \]
e l'ultima prodottoria tende a $0$ con $n:=\prod_{p\le x}{p}$ e $x$ sufficientemente grande..
Questa strada non funziona, male . Qualcuno ha altre idee?
\[ A_kn^{2k} \le \varphi^k(n) \sigma_k(n) \le B_kn^{2k} \]
Fatto sta che $B_k=1$ funziona per ogni $k$, ma $A_k$ tende a $0$ per ogni $k\ge 2$ fissato, dato che per qualche costante $C\ge k$ abbiamo
\[ \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^k\left(1+\frac{1}{p^k}\right)\le \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{C}{p}\right) \le \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \]
e l'ultima prodottoria tende a $0$ con $n:=\prod_{p\le x}{p}$ e $x$ sufficientemente grande..
Questa strada non funziona, male . Qualcuno ha altre idee?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
Nell'Hardy&Wright dimostra $A_1=\frac 6 {\pi^2}, B_1=1$ (e sono le migliori possibili). Ha qualcosa a che vedere col problema originale o è un altro?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
No, ha solo a che vedere con la tua proposta per $f=\sigma_k$ con $k\ge 2$: dato che $A_k$ tenderebbe a $0$, non si puo' modificare in alcun modo la dimostrazione che vale per $f=\sigma_1$..<enigma> ha scritto:Ha qualcosa a che vedere col problema originale o è un altro?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
In analogia col teorema di Grönwall, possiamo pensare che il caso peggiore sia col primoriale (non credo sia difficile da dimostrare), quindi se otteniamo una disuguaglianza con quello probabilmente varrà a meno di spiccioli per tutti gli altri numeri. Ora,
\[ \prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^k\left(1+\frac{1}{p^k}\right)\sim \prod_{p \leq x} \left ( 1-\frac k p +O(p^{-2}) \right ) \sim \frac {C}{(\log x)^k} \]
per qualche costante $C$ (ho praticamente solo usato il teorema di Mertens): quindi aggiungendo un $(\log x)^{-k}$ nel lower bound una costante $\widetilde{A}_k>0$ esiste senz'altro, e quella che possiamo ottenere magari c'entrerà con $e^\gamma$ (mentre forse nella migliore costante c'entrerà $\pi$, ma non siamo schizzinosi).
\[ \prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^k\left(1+\frac{1}{p^k}\right)\sim \prod_{p \leq x} \left ( 1-\frac k p +O(p^{-2}) \right ) \sim \frac {C}{(\log x)^k} \]
per qualche costante $C$ (ho praticamente solo usato il teorema di Mertens): quindi aggiungendo un $(\log x)^{-k}$ nel lower bound una costante $\widetilde{A}_k>0$ esiste senz'altro, e quella che possiamo ottenere magari c'entrerà con $e^\gamma$ (mentre forse nella migliore costante c'entrerà $\pi$, ma non siamo schizzinosi).
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
Giusto una veloce nota; usando i numeri primi $<10^9$ ho ottenuto i seguenti valori per $\widetilde{A}_k$ (restringendo il prodotto a $k<p\leq x$):
- $\widetilde{A}_2=1,5331 \dots$;
- $\widetilde{A}_3=4,8398 \dots$;
- $\widetilde{A}_4=8,0665 \dots$;
- $\widetilde{A}_5=41,3787 \dots$.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
Giusto; ma $C/\ln^k x \to 0$, non capisco che ci faresti con questa $\tilde{A_k}$..<enigma> ha scritto:ho praticamente solo usato il teorema di Mertens
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: proprieta che vale per infiniti numeri
Niente, era solo per trovare il corretto ordine asintotico di quella roba
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)